Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
* = 1 + e~ht [— (1 -J- s) cos coZ -J- +s) sin a»/],
-htX и , , \ jT s — hb . , I у = e b cos со/ -]---sin соZ ,
где
co=/l—A3.
Изображающая точка, двигаясь по этой траектории, обязательно (через некоторый интервал времени Z1) придет на полупрямую (S') в точку (s', Ь)'). Для последней, очевидно, имеем:
Sr = 1 4-е- «1 [ — (1 4-s) COS соZ1 4-+s) sin со/,], b = є~ hti j b cos CoZ1 4- * Sm~ hb sin CoZ1
Разрешая эти соотношения относительно s и s', получим функцию соответствия для преобразования П^-
, — COST1-I-YSinT1
S = A СО--:-І-!—*--- 1,
sin t1
е— TcI — COS t1 — Y sin t1
s'=Aco-=-і--+1,
sin t1 1
1) Очевидно, s' > 1 — 2hb, так как фазовые траектории в области (I) отходят от прямой у = Ь при л: < 1 — 2hb. 532 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
где
V і —л2
и T1=(I)Z1 — приведенное время пробега изображающей точки в области (/). Если ввести
S s'
U = -J- И V = -T-, ?70) ?70)
то функция соответствия для преобразования II1 запишется в еще более простой форме:
еу 1 — COS T1 + у Sin T1
U = -:-Lj--а,
Sin T1
P- -
COS T1 —7 sin T1
(8.27)
Sin T1
где
_ 1 _ 0)0 I MfIs
Ь<й
Eg Y^h2 '
Аналогичным путем найдем функцию соответствия для преобразования II2 точек (buv, b) полупрямой (s') в точки (—Ьшии Ь) полупрямой (s):
" Тт2 — гпя т„-
cos T2 — 7 sin т2
Sin T2
_ еТТ2 — cos T2 + 7 sin т2
SinT2
(8.28)
где T9 = (J)Z2 — приведенное время пробега изображающей точки по траектории в области (II).
Исследование функции соответствия (8.27) полностью аналогично исследованию функции (8.8) (см. § 2). Нетрудно видеть, что параметр преобразования II1 меняется в интервале 0 T1-C^ тс, причем при изменении T1 or 0 до її и монотонно возрастает от H0 = 2f — а до +оо, а V— от D0 = а — 2f также до +оо (начальные точки кривых (8.27) при различных значениях параметра а лежат, очевидно, на прямой и + v = 0). Далее,
du_ 1 — eTTl (cos T1 — 7 sin T1) ^ ^
dv~~ 1-е- iTl (cos T1 +7 sin T1)
2(1+72) sin3 T1 (sh7Tt —7 sin T1) [1-е-(cos T1+7 sin T1)]8
d^u dv2 § 4] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР СО СМЕЩЕННОЙ !-ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 533
при т> е- при изменении T1 от 0 до л ^ монотонно воз-
растает от о=1 до _ = Наконец, кривая (8.27)
имеет асимптоту (при T1-^ir) u = e^Kv— а (1е7*). На рис. 371 изображено семейство кривых (8.27) для некоторого фиксированного значения f и при различных значениях параметра a ^ 0 (кривая (8.27) для а 0 получается из кривой для а = О смещением ее вправо и вниз на а);
Переходя к исследованию функции соответствия (8.28), следует сразу же отметить, что изображающая точка, двигаясь по траектории (по спирали) в области (II), что соответствует преобразованию II2 полупрямой S' в полупрямую S, совершает более половины, но менее целого оборота вокруг устойчивого фокуса (0, 0) (ра-диус-вектор г изображающей точки поворачивается на угол, больший it, но меньший 2it, причем этот угол тем меньше, чем больше размеры соответствующей траектории, чем больше s' и S1). Поэтому (см. § 4 гл. I) параметр т2 преобразования П2 заведомо будет заключен в интервале причем убывающим значениям т2 соответствуют монотонно возрастающие значения v и H1 (при т2 —iz -f- 0 v, M1 —-j- со). Однако не все точки полупрямой S' преобразуются траекториями в области (II) в точки полупрямой S. Если мы проведем в области (II) фазовую траекторию L0, проходящую через точку (—2hb, Ь), то она выделит такую область (на рис. 370 эта область заштрихована), что траектории, попавшие в нее, уже не могут придти на прямую у = Ь, а будут накручиваться на устойчивый фокус. Обозначим через SO абсциссу точки пересечения траектории L0 с полупрямой S' (рис. 370); тогда, очевидно, точки полупрямой S', для которых — 2hb<^x<^s'0, уже не преобразуются траекториями в области (II) в точки полупрямой S. Приведенное время пробега т2 для точки
Sr = S0Iили V = V0 = -^-) определяется уравнением
-S1 (-CS) =
— 2 hb или M1 (т§) = 2f, 534 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
или же, наконец,
1 _ (cos т§ — 7 sin т§) = 0.
Ясно, что тс 2тс (графическое решение этого уравнения при-
ведено на рис. 372).
Таким образом, изменяя параметр преобразования т2 от т2 до тс, мы переберем все множество точек полупрямой S', связанных пре-
образованием II2 с точками полупрямой S. При этом при уменьшении т2 от т§ до тс щ монотонно возрастает от u? = 2? до -j-°°> v—от
г»и = г>(т2) =— 2 sh ^t* 0 также до 4-оо, v ' sin Tj ^ 1
duy_ 1 — е~TTg (cos tg —|— sin ta) ^ q
dv 1 — е7Т- (cos т2 — f sin т2)
и монотонно убывает от -j-oo (прит2 = т2) до е (при т->-тс), поскольку при тс t2 t2
d2ul_2 (1 -f- f) sin8 т2 (sh ^T2 — 7 sin тз) ^ q
dva [1—етт2 (cos т2 — 7 SinT2)]3 ^
При т2 —тс кривая (8.28) имеет асимптоту M1 = e'^v. График функции соответствия (8.28) преобразования П2 приведен на рис. 373.
3. Неподвижные точки и предельные циклы. Для отыскания неподвижных точек преобразования D = D1-D2 (а следовательно, и предельных циклов), а также для исследования их устойчивости построим на одной плоскости графики функций соответствия (8.27) и (8.28) (по одной оси будем откладывать и и по другой — и и H1) и рассмотрим полученные диаграммы Ламерея (рис. 374) при некотором фиксированном f и различных значениях параметра а 0. § 4] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР СО СМЕЩЕННОЙ !-ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 535
