Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
(см. § 8 гл. V) и, с другой стороны, не могут лежать целиком внутри полосы (//) (|*|<1), так как внутри этой области уравнение (8.21) является линейным. Более того, поскольку рассматриваемая нами система не может иметь несимметричных предельных циклов1), предельные циклы будут симметричными (относительно начала координат) и, следовательно, будут проходить по всем трем областям и пересекать выбранную нами полупрямую «без контакта» — полупрямую 5. Таким образом, мы найдем все предельные циклы (и тем самым будем знать структуру разбиения фазовой плоскости jc, у на траектории 4)), если мы построим точечное преобразование полупрямой 5 самой в себя, осуществляемое движением изображающей точки по траекториям, проходящим через все три «области линейности», и определим его неподвижные точки.
Это точечное преобразование (обозначим его через П), очевидно, может быть представлено в виде произведения четырех преобразований II1, П4, П3 и II4 — точечных преобразований полупрямой 5 в У, S' в S1, S1 в SJ и, наконец, Sj в S, которые осуществляются траекториями соответственно в областях (/), (It), (III) и (II) (см. рис. 365). Но преобразования
II3 = II1 и П4 = П,
в силу указанной выше симметрии фазовых траекторий друг другу относительно начала координат. Следовательно, если ввести преобразование полупрямой S в полупрямую S1
Ir = II1-IIs, то П = (IT)4
(иначе говоря, «полное» преобразование П получается двукратным применением преобразования П', так как преобразование II3-II4 — преобразование полупрямой S1 в полупрямую S, осуществляемое траекториями в областях (III) и (II), тождественно преобразованию П').
Поэтому для целей изучения структуры разбиения фазовой плоскости на траектории мы можем ограничиться рассмотрением более простого преобразования П\ Неподвижные точки этого преобразования, очевидно, являются точками пересечения симметричных предельных циклов (а иных, несимметричных предельных циклов система не имеет) с полупрямыми S и S'.
') Допустим, что система (8.21) имеет несимметричный предельный цикл T1 (он обязательно должен охватывать состояние равновесия). Тогда в -силу симметрии фазовых траекторий друг другу (относительно начала координат) система (8.21) будет иметь другой предельный цикл Г8, симметричный с Г, и, следовательно, пересекающийся с ним. Последнее невозможно. Таким образом, рассматриваемая система может иметь только симметричные предельные циклы.
s) В рассматриваемой задаче особыми траекториями, определяющими качественную структуру разбиения фазовой плоскости на траектории, являются только состояние равновесия - (0, 0) (узел или фокус) и предельные циклы.524 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
Перейдем к вычислению функции соответствия для преобразования П'. Преобразование Пь очевидно, тождественно преобразованию nt предыдущего параграфа (см. (8.8) и (8.J2)). Таким образом, для случая 0 CA1Cl функция соответствия для преобразования nt имеет вид:
_ eriTl — cos T1 — ^1 sin T1
I/T+7?sin T1 ' ,
v (8.22) ' T'Tl — cos T1 -)- Y1 sin T1
У\ + Yfsin T1
где, как и раньше, T1 — параметр преобразования (приведенное время пробега изображающей точки в области (/), причем О^т^и) и
„ A1
Ti — „
VrI-Af '
График функции соответствия (8.22) был приведен на рис. 353 *).
Для фазовой траектории, выходящей при / = O из точки S1 полупрямой (s') (х = —~ 1, y = s' ^>0) и проходящей в области (II), имеем согласно (8.21) (см. § 4 гл. I) для случая OC^3C1-'
л: = ehlt — cos IO3/ -)- s ^2 sin со,/], x=.y = eh*1 P cos со3/ -)- 1 sin CO3/
(8.23)
где
, = Zl-AI-
Изображающая точка, находившаяся в начальный момент на полупрямой S', попадает через некоторый интервал времени /3 на полупрямую S1 — этот переход и был назван преобразованием П3. Параметрические выражения для этого преобразования мы получим, полагая
в уравнениях (8.23), что при /3 = — ^>0 л: = -)-1, _y = sj~>0, и
COg
разрешая полученные соотношения относительно s' и S1:
_ еГ2Т2-|- COST2-I-YaSin T2
Sl~~ УТ-Ьт! sin т2
,_е~ Г2Та + cos T2 — Ya Sin T2
Kl +Yl sin т2
(8.24)
') Если A1 > 1, то выражение для функции соответствия получается заменой в (8.22) тригонометрических функций на соответствующие гиперболические (см. (8.12)). График функции соответствия для этого случая изображен пунктирной линией на рис. 353.§ 3] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР (СИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ) 525
где
T = — = J1'2 _1I
19 |/Т=л|
Для исследования кривой (8.24) достаточно заметить следующее:
1) При -Cs 0 J и S1 — со.
2) s' = 0 при некотором T9 = T2 (0 т9 тс), определяемом уравнением S1 (т9) = 0 или 1 (cos т9 — sin т9) = 0, причем, как нетрудно видеть, S1 (т9) 0.
3) Дифференцируя (8.24), имеем:
^s1
db }/l+Ylsin2T3
ds' 1 + e- 72T2(cos T2 + Y2 sin т2)
dx2 У 1 +Y22Sin2T2
ds, 1 + e72*2 (cos T2 — Ys sin T2)
d S1
1 + е- Y2T2 (cos T3 + f3 sin T2)
Поскольку 1 -j- ^7at2 (cos t9 — -j9 sin т9) 0 и
1 -j- e~ (COS t9 -j— t9 sin t9) 0
„ / ^ , ds' dsi ^ ,,
при 0<^t9<Qt9, в этом интервале изменения т9 и j> U,