Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Легко видеть, что если один из усов входит в границу, то непременно один из смежных с ним усов также входит в границу. Таким образом, должны быть один устойчивый и один неустойчивый ус, которые входят в границу. Так как эти усы непременно стремятся к тем же устойчивому и неустойчивому элементам, то наша ячейка разбивается на две части так, что кривая С уже не может входить в границу ячейки. Мы пришли к противоречию. В рассматриваемом варианте никакие другие особые элементы в границу входить не могут. 460
качественная теория уравнений второго порядка [гл. vi
Мы еще оставили без рассмотрения другой вариант, когда рассматриваемая ячейка целиком лежит вне кривой С, которая входит в его границу. Легко показать, рассуждая совершенно аналогично предыдущему, что этот случай также приведет нас к противоречию. Таким образом, случай BIa осуществляется только одним топологическим типом элементарных ячеек (см. рис. 306, случай BIa).
Предположим теперь (случай BIb), что в границу входят два рядом стоящих уса разной устойчивости: один устойчивый и один неустойчивый, а остальные два уса не входят в границу рассматриваемой ячейки. Так как усы не могут идти из седла в седло, то
непременно устойчивый ус идет из неустойчивого узла (или фокуса), а неустойчивый ус идет в устойчивый узел (или фокус). Так как по предположению остальные усы рассматриваемого седла не входят в границу, то непременно в границу входит еще одно седло. Здесь, очевидно, возможны два случая поведения усов второго седла (рис. 307). Случай I быть не может, так как мы уже рассматривали тот вариант, когда два уса одинаковой устойчивости входят в границу ячейки, и показали, что тогда второе седло не входит в границу. Остается случай II. Здесь опять можно сделать два предположения: либо наша ячейка лежит целиком внутри замкнутой кривой С, образованной четырьмя усами и четырьмя состояниями равновесия, либо лежит целиком вне. Рассмотрим первое предположение: ячейка лежит целиком внутри кривой С. Покажем, что никакие другие особые траектории в границу рассматриваемой ячейки входить не могут. Действительно, единственные особые траектории, которые еще
Рис. 306.
Рис. 307. § 4]
грубые системы
461
Устойчивый
предельный цикл
Устойчивый предельный циНл
'¦едлеи
ь і і
Неустойчивый
CedM^ig ilo1 узел +S Ilos
Устойчивый^
Slla1
Неустойчив.' узел
Предельный
fill O4 462
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гл. VI
могут войти в границу, — это сепаратрисы и, следовательно, седла (предельные циклы не могут входить в границу по предположению; источник и сток уже имеются). Но если в границу войдет седло, то непременно войдут и два соседних уса. Эти усы обязательно пойдут в устойчивый и неустойчивый узлы (или фокусы) и разобьют нашу
Устойчив, предель» •
ячейку на две части таким образом, что кривая С уже не может целиком входить в границу ячейки. Мы пришли к противоречию, и следовательно, требуемое доказано. Нетрудно также опровергнуть предположение, что наша ячейка лежит целиком вне кривой С. Таким образом, случай BIb осуществляется опять только одним топологическим типом элементарных ячеек (см. рис. 306, случай BIb).
Мы не будем исследовать подробно возможные топологические типы для наиболее сложного случая BII, когда в границу ячейки входят и предельные циклы и седла. Возможные здесь случаи приведены на рис. 308 и 309. Заметим, что для случаев BII в известном грубые системы
463
Slle4
Цикл без контакта Седло
CedJS-
B Il 6, - —
Рис. 310. 464 качественная теория уравнений второго порядка [гл. vi
смысле противотипами служат случаи Bi. Именно, случаи BlI получаются из случаев BI путем соответствующей замены одного или двух узлов другими элементами притяжения или отталкивания — предельными циклами; количество различных типов при этом сильно возрастает вследствие того, что один цикл может располагаться внутри или вне другого и ввиду необходимости различать на циклах направление вращения. Также без специального рассмотрения мы оставим случаи ячеек, примыкающих к циклу без прикосновения. Случаи, которые могут здесь осуществляться, изображены на рис. 310.
После рассмотрения различных типов элементарных ячеек в грубых системах возникает вопрос о «законах совместного существования» элементарных ячеек различных типов. Мы не будем здесь касаться этого еще не решенного полностью вопроса. Поясним только одно понятие, которое имеет к этому вопросу некоторое отношение. Именно, иногда бывает удобно пользоваться понятием области устойчивости в большом данного элемента притяжения; под такой областью устойчивости в большом понимается тогда совокупность всех элементарных ячеек, имеющих рассматриваемый особый элемент своим элементом притяжения. Этим замечанием мы заканчиваем рассмотрение грубых систем ').
§ 5. Зависимость качественной картины траекторий от параметра [10—13]
Мы уже неоднократно рассматривали случай, когда в правые части дифференциальных уравнений, соответствующих рассматриваемой динамической системе, входит некоторый параметр, и занимались вопросом об изменении качественной структуры разбиения на траектории при изменении этого параметра (см. гл. II). Сейчас мы остановимся на этом вопросе подробнее' и при более общих предположениях относительно рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, чем в гл. II.
