Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Можно показать (ср. § 3 настоящей главы), что если мы знаем совокупность особых траекторий, именно, знаем взаимное расположение состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис и знаем направление движения по сепаратрисам и предельным циклам, а также знаем характер устойчивости элементов притяжения и отталкивания (узлов, фокусов и предельных циклов), то этих знаний нам достаточно для однозначного установления топологической структуры разбиения на траектории, т. е. для полного качественного исследования грубой динамической системы.
7. Типы ячеек, возможных в грубых системах. Выясним, какие могут быть топологические структуры разбиения на траектории отдельных ячеек в грубых системах. При этом мы будем отдельные ячейки всегда рассматривать вместе с границами. Кроме того, среди ячеек, имеющих одинаковую топологическую структуру, мы будем все же различать два типа; именно, мы будем считать ячейки принадлежащими к одному и тому же типу лишь в случае, если между ними существует топологическое отображение (переводящее траектории в траектории), сохраняющее направление вращения1).
') Топологические отображения разделяются на два класса: на отображения, сохраняющие направление вращения, и отображения, меняющие направление вращения на обратное (в другой терминологии — на отображения, сохраняющие ориентацию, и на не сохраняющие ориентацию).
Простейшим примером топологического отображения, меняющего направление вращения, является зеркальное отображение. В силу сказанного в тексте, мы будем в дальнейшем две ячейки, получающиеся друг из друга зеркальным отображением, относить к различным типам. 458
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гЛ. VI
Можно показать, что в грубых системах возможно лишь конечное число типов ячеек.
Не проводя полностью исследования возможных типов, разберем ряд простых случаев. Начнем классификацию внутренних ячеек, не примыкающих к циклу без соприкосновения; при этом мы не будем перечислять те ячейки, которые получаются из рассматриваемых путем замены t на —t (при таком изменении времени меняются направления движения по «отделяющим» траекториям и устойчивость
Рис. 305.
элементов притяжения и отталкивания). Возьмем какую-нибудь ячейку. Здесь могут быть следующие два случая:
1) седло не входит в границу; 2) седло входит в границу. Рассмотрим первый случай. Если седло не входит в границу, то отсюда следует, что в границу непременно должен входить предельный цикл, так как плоскость не может разбиваться на ячейки состояниями равновесия, а особые траектории, из которых может состоять граница, суть сепаратрисы (и тогда непременно есть седло), предельные циклы и состояния равновесия. Если имеется предельный цикл, составляющий часть границы, то могут быть опять два случая: I. Траектории рассматриваемой ячейки лежат вне (снаружи) цикла. IL Траектории рассматриваемой ячейки лежат внутри цикла. В первом случае (так как седла нет) должен быть еще один (внешний) предельный цикл. Так как очевидно, что в этом случае никакие другие дозволенные особые траектории не могут входить в границу, то, принимая во внимание направление вращения и устой- грубые системы
459
чивость, мы получим в этом случае четыре различных типа областей: AIa1, AIai, AIai, AIai (рис. 305, случаи A1, Ait Ai, Л4). Во втором случае могут быть два варианта: либо опять внутри предельный цикл, — тогда мы опять возвращаемся к тем же типам, либо внутри фокус (или узел),—тогда имеем, учитывая направление вращения и устойчивость, два типа ячеек: Allb1 и Allb2 (рис. 305, случаи Лв, Лв).
Теперь вернемся ко второму основному случаю, когда седло входит в границу. Этот случай также придется разбите на два класса:
Bl — предельный цикл не входит в границу;
BIl—предельный цикл входит в границу.
Рассмотрим первый класс Bi, когда предельных циклов нет, а в границу входит седло. Как известно, седло имеет четыре уса: два устойчивых и два неустойчивых. Предположим сначала (случай Bla), что в границу входят два уса одинаковой устойчивости, например два неустойчивых. Так как каждый из этих усов принадлежит границе области и не может (в силу грубости) идти в седло, то его асимптотическое поведение такое же, как у других траекторий, т. е. оба неустойчивых уса седла стремятся к устойчивому элементу, т. е. в нашем случае к устойчивому узлу (или фокусу). Мы получаем таким образом замкнутую кривую С, состоящую из седла, двух неустойчивых усов и устоіічлаого фокуса (или узла). Рассматриваемая нами ячейка должна лежать или вся вне этой замкнутой кривой, или вся внутри нее. Пусть она лежит вся внутри. Посмотрим, что еще тогда может входить в границу. Очевидно, тот устойчивый ус седла, который лежит внутри кривой С, также входит в границу. Он идет от неустойчивого элемента — неустойчивого узла (или фокуса), который, как и следовало ожидать, непременно лежит внутри кривой С. Таким образом, в границу рассматриваемой ячейки непременно входят соответственно расположенные три уса седла и три состояния равновесия. Может ли быть еще что-либо, входящее в границу? Так как мы предположили, что предельный цикл не входит в границу, поскольку граница может содержать лишь один источник и один сток, то в границу могут входить лишь седла с усам». Докажем, что этого не может быть, что граница рассматриваемой связной ячейки исчерпывается перечисленными шестью особыми элементами. Будем доказывать от противного. Предположим, что где-то внутри кривой С у нас .имеется седло, входящее в границу, Но раз седло входит в границу, то есть и усы, входящие в границу.
