Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
откуда
(M0) = ^V
Перейдем теперь к вычислению <х3(уМ0). Ha основании (6.25) и (6.27) имеем'):
Ri (в, M0) = р0 cos2 6 sin 6,
R3 (в, M0) = — то sin9 6 cos4 в -j- 2?0 cos3 6 sin3 6,
откуда по формулам (6.26) находим:
а, (в, Al0)= -i-?o (1 — cos3 6),
и3 (2«, M0) = S3(M0) = - ^ 702тс
Так как по предположению S0 О, S9 0, то а[ (M0) О, аз (M0) С 0; мы имеем по нашей классификации первый случай — случай а): при возрастании M фокус из устойчивого делается неустойчивым и при этом появляется устойчивый предельный цикл. Отсюда следует, что при М^>М0, но достаточно близких к M0 в системе наверное возможен устойчивый автоколебательный процесс. Заметим, что если бы было Si <^ 0, то мы имели бы второй случай—случай б), когда при возрастании M фокус из устойчивого делается неустойчивым и при этом неустойчивый цикл стягивается в точку.
Сделаем еще два замечания: 1) если бы мы учли дальнейшие члены в разложении характеристики, пропорциональные и4, и3, и6 и т. д., то, как легко видеть из уравнений (6.26), эти члены никак не повлияли бы на решение вопроса о рождении или исчезновении цикла, если S9 ф 0; 2) все наши выводы сделаны без всяких предположений о малости величин а, ?, 7. Аналогичное рассмотрение возникновения автоколебаний в ламповом генераторе при увеличении обратной связи, гораздо более далеко идущее (изменения циклов будут прослежены не только в непосредственной близости к особой точке), будет сделано в гл. IX; однако при этом придется предъявить определенные требования малости к коэффициентам характеристики лампы, к сопротивлению и т. д.
6. Появление предельных циклов из сепаратрисы, идущей из седла в седло, и из сепаратрисы состояния равновесия седло-узел при его исчезновении. Скажем несколько слов еще о двух простейших случаях рождения предельного цикла (и соответственно исчезновения предельных циклов), именно, о рождении предельного цикла при исчезновении сложной особой ТОЧКИ и о рождении
Зпш0
RC
V
') §0 = (?)Af = AfКо = (к)M = Af0- 478
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гл. VI
предельного цикла от сепаратрисы. Эти случаи представляют очень большой интерес как с.точки зрения теории дифференциальных уравнений, так и с точки зрения физики.
Предположим, что при некотором значении параметра из рассматриваемого промежутка X система дифференциальных уравнений имеет
седло и две выходящие из этого седла сепаратрисы стремятся к одному и тому же узлу (рис. 318, /). Пусть кроме этого при увеличении X седло и узел сближаются и, наконец, при некотором значении X =X0
I 'I 1
сливаются в одну сложную особую точку седло-узел (рис. 318, II). Тогда одна из сепаратрис этого седла-узла (обозначим ее через L0), выходящая из седла-узла, будет вновь входить в него (при сю)
(рис. 318, II). Если при дальнейшем увеличении X сложная особая точка седло-узел исчезает, то непременно появляется предельный цикл, лежащий при значениях X, достаточно близких к X0 в сколь § 5] зависимость картины траекторий от Параметра 479
угодно малой окрестности сепаратрисы L0 (рис. 318, III)1). Очевидно также, что предельный цикл может исчезнуть, если с увеличением (или уменьшением) параметра X, при некотором значении X0 на нем появляется сложная особая точка седло-узел, которая затем разделится на две.
Рассмотрим теперь случай рождения цикла от сепаратрисы седла. Предположим, что сепаратрисы седла при некотором значении X из рассматриваемого промежутка имеют расположение, представленное на рис. 319, /, а при увеличении (или уменьшении) X сближаются и, наконец, при некотором значении X = X0 сливаются и образуют «петлю сепаратрисы» (т. е. при X = X0 существует сепаратриса седла О, выходящая из этого седла и вновь возвращающаяся в него) (рис. 319, II). Если при дальнейшем увеличении (или уменьшении) ,параметра X сепаратрисы седла вновь разделяются так, как показано на рис. 319, III, то при этом от петли сепаратрисы отделяется («рождается») хотя бы один предельный цикл2). Очевидно, что обратно предельный цикл может исчезнуть, предварительно сливаясь с петлей сепаратрисы. В обоих рассмотренных случаях рис. 319, II соответствует бифуркационному значению параметра.
') Обозначим через лг0, у0 координаты особой точки седло-узел, существующей по предположению при X = X0, и составим выражение
го = р'х (Хо, Уо, X0) + Q'y (х0, у0, X0).
Нетрудно показать, что для особой точки седло-узел а0 ф 0. Можно показать, что в случае, когда а0 < 0, предельный цикл, появляющийся при исчезновении особой точки седло-узел, устойчив, а в случае, когда а0 > 0, неустойчив.
2) Обозначим при X = X0 через X0, Уо координаты седла и рассмотрим выражение
а0 = Р'х (аг0, Уо, X0) + Q'y (Хо, Уо, X0).
Это выражение может быть как не равным, так и равным нулю. Можно показать, что в случае, когда а0 < 0, «петля сепаратрисы» устойчива (т. е. все траектории, проходящие через достаточно близкие к петле точки, лежащие внутри петли, при t 00 стремятся к этой петле), а в случае, когда ао;>0, петля неустойчива. В случае, когда а0 = 0, вопрос о характере устойчивости петли не решается величиной з0.
