Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
система (А) не может быть «грубой», и таким образом в случае I (сложного предельного цикла) утверждение теоремы доказано.
В случае II, т. е. в случае, когда все траектории замкнуты, рассматриваем ту же вспомогательную неаналитическую систему (А*). Как и выше, имеем:
т
X'j (P*' + Q*') dt
/*' (О, X*) = е °
Следовательно, функция vF* (s, X) на рассматриваемом интервале значений S не равна нулю тождественно. Нетрудно видеть, что тогда у всякой системы (Л) с аналитическими правыми частями, достаточно близкой к системе (А*), соответствующая функция Ф (s) тоже не будет равна нулю тождественно. А это означает, что среди траекторий системы (А), пересекающих рассматриваемую часть отрезка без контакта, существуют не только замкнутые траектории. Так как можно указать сколь угодно близкую к системе (А) систему (А), обладающую этим свойством, то, очевидно, система (А) — негрубая J).
В случае, когда предельный цикл L9 системы (А) простой, т. е. для него h ф 0 и, следовательно, f (0) ф 1 и 1F' (0) ф 0, этот предельный цикл является «грубым», т. е. может существовать в грубых системах. В этом случае точка пересечения R9 кривой s=/(s) и прямой соответствующая предельному циклу L9, является про-
стой точкой пересечения, т. е. в этой точке кривая s=/(s, X) не касается прямой s = s. Тогда кривая s=/(s, X), соответствующая любой функции f(s), достаточно близкой к /(s), производная которой f (s) достаточно близка к f (s), будет иметь одну и только одну сколь угодно близкую к R0 общую точку R с прямой S = S2). Отсюда, очевидно, следует, что у всякой измененной системы (А), достаточно близкой к системе (А), будет существовать один и только один предельный цикл L9, сколь угодно близкий к рассматриваемому предельному циклу L9 системы (А). В силу того, что Jf' (s) сколь угодно мало отличается от f (s), этот предельный цикл L9 будет устойчив, если устойчив предельный цикл L9, и неустойчив, если неустойчив предельный цикл L9.
На основании этого нетрудно показать, кроме того, что разбиения некоторой окрестности предельного цикла L9 на траектории системы (А)
>) В случае, когда предельный цикл четно-кратный, а также в случае II доказательство негрубости может быть очень просто проведено, если рассмотреть систему, которая используется в теореме IV настоящей главы, т. е. систему, поле которой повернуто на постоянный угол по отношению к ПОЛЮ системы (/4).
s) Нетрудно видеть, что при этом существенно требование близости не только самих функций/(s) и/(s), но и их производных /'(s)'и/'(s). грубые системы
451
и на траектории системы (Л) мало сдвинуты одно по отношению к другому.
Отметим, что как в случае состояний равновесия, так и в случае предельных циклов требование грубости накладывает аналитическое условие на систему дифференциальных уравнений. Топологически у простых и сложных состояний равновесия и у простых'и сложных предельных циклов разбиение окрестности на траектории может быть одинаково (например, у сложного нечетно-кратного предельного цикла и у простого предельного цикла).
4. Поведение сепаратрисы седел в грубых системах.
Перейдем теперь к рассмотрению особых траекторий еще одного типа, возможного в грубых системах, именно сепаратрис седел. Требование грубости накладывает ограничения также и на характер сепаратрис. Если сепаратриса седла О, стремящаяся к этому седлу при t—>--[-оо, при t—*¦ — оо также стремится к седлу (отличному от О или к тому же седлу О), то мы будем коротко говорить, что эта сепаратриса «идет из седла в седло».
Теорема IV. В грубых системах не может быть сепаратрис, идущих из седла в седло.
Для доказательства теоремы предположим противное, т. е. предположим, что у системы (Л), являющейся грубой, существует сепаратриса, либо идущая из одного седла О в другое седло О' (см., например, рис. 299), либо возвращающаяся в то же седло (см-, рис. 293).
Рассмотрим первый случай (случай, когда сепаратриса возвращается в то же самое седло, рассматривается совершенно аналогично). Обозначим через l сепаратрису системы (Л), идущую из седла О в седло О'.
Рассмотрим измененную систему вида:
^ = p- aq, ft=q + *p. (6.21)
Будем называть эту систему системой (A11). Нетрудно видеть, что система (Att) имеет состояния равновесия в тех же точках, что и система (Л) (и только в этих точках). Действительно, мы можем иметь одновременно
р — aQ=0; Q -(- аР= О лишь в случае, когда одновременно
P=O и Q = O.
Тангенс угла <р между касательными в данной точке М(х, у) к траектории системы (Л) и к траектории системы (Aa), очевидно, будет:
Q + aP_Q
. P — aQ P
tgT = ,,<?+W==a'
P — aQ Prn
т. e. tg<p один и тот же во всех точках области О.
15* 452 качественная теория уравнений второго порядка [гл. vi
Мы будем говорить, что векторное поле, заданное системой (Aa), повернуто на постоянный угол (положительный или отрицательный в зависимости от знака а) по отношению к векторному полю, заданному системой (Л).
В силу сказанного выше точки О и О' являются состояниями
