Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Так как по самому выбору функции F(x,y)
F[?(t), «КО] = О,
то, очевидно,
*=?('). .v появляется решением также и системы (Л*), т. е. траектория L0 является также и траекторией системы (Л*). Очевидно, при всех достаточно малых X система (Л*) будет сколь угодно близка к системе (Л). Будем рассматривать лишь столь малые значения X (|^|<С"'1> гДе і] — надлежащим образом выбранная постоянная), при которых отрезок I остается отрезком без контакта для системы (Л*). Пусть
s=/* (s, X)
— функция последования, построенная для системы (Л*) на отрезке I, и X) = /* (s, A) —S.
Функция последования s =/* (s, X) может быть найдена совершенно так же, как и в случае системы (Л). При этом, в силу того, что L0 является траекторией как системы (Л), так и системы (А*), мы можем воспользоваться той же системой криволинейных координат и, V (см. § 7 гл. V), что и в случае системы (Л). Пусть уравнение, аналогичное уравнению (5.56) и соответствующее dv
системе (Лх*), есть ^ =g*(u, V, X) и решение этого уравнения, принимающее
значение S при а = О, есть у = Ф*(и, s, X) (напомним, что мы всегда можем предполагать отрезок / отрезком на прямой U = 0). Тогда функция последования /* (s, X) = ф* (т, S, X) (х — период движения на замкнутой траектории L0). Так как правые части системы (Л^), а следовательно, и функции Ф* (х, s, X) не являются аналитическими функциями, то функция (s, X) = =/*(s, X) — S тоже не является аналитической и рассуждение, которое было проведено в § 7 гл. V (опиравшееся на тот факт, что функции g* (и, V, X) и Ф* (u, s, X) могут быть разложены в ряд), здесь не может быть использовано. Однако нетрудно показать, что функция g* (u, v, X) заведомо имеет непрерывные частные производные первого порядка. Отсюда в силу известных теорем следует, что функция ф* (и, s, X) имеет непрерывную производную по S 448 качественная теория уравнений второго порядка [гл. vI
и эта производная является решением дифференциального уравнения
d_ РФ* _ dg* дФ* du ds dv ds
Воспользовавшись этим уравнением, мы совершенно так же, как и в § 7, п. 3> гл. V, получаем:
т
^ (P*' + Q*y) dt /*'(0) = еЬ
В силу теоремы V Дополнения I функция W* (s, X) и ее производная сколь угодно близки к функции 'F (s) и ее производной при достаточно малых X. В силу того, что замкнутая траектория L0 является траекторией и системы (Л*), мы, очевидно, имеем:
<F*(0, Х) = 0.
Найдем выражение для 1F*' (О, X). Принимая во внимание выражения для Р*(х,у, X) и Qt(XjJZ1X) и принимая во внимание, что по условию
т
h = i-J (P1xJrQ1y)M = О,
о
мы будем иметь:
T г
\ <Р*' + Q*') dt X f (F'J + Fys) dt ¦ /*'(0, \)=е° =е» >0
и
т
^jlFx2+ Fy2I dt
W*'(0,X) = e° — 1.
Из этих выражений, очевидно, следует, что замкнутая траектория L0 является для системы (Л*) простым предельным циклом, устойчивым при Х<^0 и неустойчивым при Х^>0. По условию
1F**' (O)X-
Так как
iF(s) = *F(ft>(0) +
то всегда можно взять такое значение S1 ^>0 (S1 можно взять сколь угодно малым), при котором
1F(Sl)X).
Но при всех достаточно малых значениях X функция 1F* (s, X) сколь угодно мало отличается от функции W (s), поэтому всегда можно взять § 4] грубые системы 449
фиксированное значение X* (X* можно взять сколь угодно малым по абсолютной величине и любого знака), чтобы мы имели
W*(sv Х*)>0. (6.18)
Но если взять то мы будем иметь:
т
i\(F'J + Fy2)dt
W*'(0,X*) = eb — 1 <0.
Следовательно, в этом случае всегда можно подобрать такое s2>0 (s2<S1), чтобы мы имели
W*(s2, Х*)<0. (6.19)
Из (6.18) и (6.19) очевидно следует, что у системы (Л*) кроме L0 существует еще одна замкнутая траектория, пересекающая отрезок I при некотором значении s, лежащем между S1 и S2. Наконец, в силу того, что
1Г*(0, X*) = 0, а ?*'(0Д*)<0,
всегда можно указать S3 <^0 такое, чтобы Ir* (s3, Х*)^>0, т. е. Mr* (s, X) обращается в нуль еще раз на интервале S3 s s2, а система (^f) имеет еще одну замкнутую траекторию (кроме L0), пересекающую отрезок I на указанном интервале.
Но при любом фиксированном X* всегда можно указать измененную систему (Л)
^ = Р(х,у); dft = Q(x,y), (6.20)
правые части которой — аналитические функции х и у, столь близкую к системе (Л*), чтобы мы имели также
W(S3) >0, Ф(%><0, W(S1) > 0,
где W(S) — функция последования, аналогичная W (s) и построенная для системы (Л). А тогда непременно существуют значения S1 и Sa такие, что
W (S2) = O и W(sl) = o,
т. е. у системы (Л) существует не менее двух замкнутых траекторий, пересекающих отрезок без контакта I (в точках этого отрезка, соответствующих значениям S1 и S2). Выбирая достаточно малые по абсолютной величине значения s и X и систему (Л), достаточно близкую к системе (Л*), всегда можно добиться того, чтобы эта система (Л) была сколь угодно близка к системе (Л) и указанные замк-^ нутые траектории этой системы лежали бы в сколь угодно малой окрестности траектории L0. Но отсюда, очевидно, следует, что
15. Теория колебаний 450
качественная теория уравнений второго порядка [гл. vI
