Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим для упрощения рассуждений, что при всех рассматриваемых изменениях параметра (Х!<^Х<^Х2) цикл без прикосновения так и остается циклом без прикосновения. Очевидно, что только те значения параметра X могут быть бифуркационными, при которых появляются особые элементы, имеющие негрубую природу.
Укажем простейшие случаи таких негрубых образований:
1) сложные состояния равновесия (такие состояния равновесия могут либо появиться вновь, либо получиться от слияния простых точек, например узла и седла);
2) вырожденный фокус или центр;
3) двойной предельный цикл (такой цикл может либо появиться вновь, либо получиться от слияния устойчивого и неустойчивого циклов); § 5] зависимость картины траекторий от параметра
467
4) сепаратриса, идущая из седла в седло.
При дальнейшем изменении параметра система может опять сделаться грубой; сложная особая точка может или исчезнуть, или разбиться на простые; вырожденный фокус может, как мы увидим в дальнейшем, стать невырожденным, изменяя при этом устойчивость и породив предельный цикл, и т. д.
2. Простейшие бифуркации состояний равновесия. Выскажем сначала несколько простых соображений, касающихся зависимости состояний равновесия от параметра. Во-первых, очевидно (мы уже говорили об этом в связи с так называемой о, Д-диаграммой), что при изменении параметра характер состояния равновесия может измениться лишь в том случае, если для соответствующего состояния равновесия либо Д, либо о обратится в нуль. Во-вторых, легко видеть, что при наших предположениях о Р(х, у, X) и Q(at, у, X) индекс замкнутой кривой
есть непрерывная (и даже аналитическая) функция параметра X, если только на самой кривой N не появляются состояния равновесия; отсюда следует, что при этом условии индекс не меняется при изменении параметра, так как он является целым числом.
Отсюда вытекает, что одно состояние равновесия с индексом, не равным нулю, не может ни появиться, ни исчезнуть при изменении' параметра. Если мы имеем простую особую точку — узел, то она может, например, исчезнуть лишь после предварительного слияния с седлом, при котором образуется сложная особая точка с индексом, равным нулю. Обратно, седло или узел могут, например, появиться следующим образом: сначала появляется сложная особая точка с индексом, равным нулю, которая затем разделяется на две: седло и узел').
Отметим, что мы могли бы придти к тем же заключениям, принимая во внимание, что состояния равновесия являются общими точками кривых (изоклин)
Среди сложных особых точек наиболее «простой» 2) является сложная
') В некоторых случаях бывает удобно исследовать сложные особые точки путем подходящего введения параметра таким образом, чтобы для определенного значения параметра мы получили сложную особую точку, а для соседних значений параметра эта особая точка распадалась бы на ряд простых.
*) Можно внести точный смысл в неопределенные слова «наиболее простая» особая точка. Именно, если рассматривать только негрубые особые точки и среди них выделить «релятивно грубые», то такой релятивно грубой особой точкой будет особая точка седло-узел.
PdQ — QdP Q2 + P2
N
Р(х,у,Х) = 0 и Q(jc, j;, X) = 0. 468 качественная теория уравнений второго порядка [гл. vi
особая точка, образующаяся от слияния седла и узла. Эта особая точка называется «седло-узел». Можно показать 1), что окрестность такой особой точки имеет характер, изображенный на рис. 311. Если у рассматриваемой системы при значении X = X0 есть особая точка «седло-узел», а при всех достаточно близких к X0 значениях X у системы
нет такой точки, то, очевидно, при изменении X от значения X0 особая точка седло-узел либо распадается на две: на седло и узел, либо исчезает.
3. Появление предельных циклов из сложных предельных циклов. Рассмотрим теперь те случаи, когда при переходе через бифуркационное значение параметра могут появляться или исчезать предельные циклы. В § 4 мы уже останавливались на том, ¦ как при изменении правых частей системы дифференциальных уравнений сложные предельные циклы могут разделяться на несколько циклов или исчезать.
Вернемся снова к этому вопросу в предположении, что правые части являются функциями параметра X. Так же как и в § 4 настоящей главы, мы используем при этом функцию последования.
Предположим, что при значении X = X0 мы имеем отрезок без контакта / и функцию последования на нем. Опираясь на теорему Vl Дополнения 1, о которой мы говорили в начале этого параграфа, можно высказать следующее утверждение: всегда можно указать такое т] 0, чтобы для всех значений X внутри интервала X0— т] X X0 -(- т] отрезок без контакта оставался отрезком без контакта ) и на нем существовала бы функция последования 5=/(5, X) для значений s: Sj<^5<^59, где S1 и S9 можно взять не зависящими от X. При этом функция f(s, X) — аналитическая функция s и X для. значений переменных s и X внутри указанных границ (ср. § 4 настоящей главы, п. 3).
Рассмотрим, как при изменении X могут появляться и исчезать предельные циклы.
