Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим плоскость s, s и на ней диаграмму Ламерея, т. е. кривую s=/(s, X) и прямую s = s. Замкнутым траекториям (см.
') Это требует рассмотрения, выходящего за рамки настоящей книги.
8) Легко видеть, что то же самое предложение будет справедливо и в том случае, когда вместо неподвижного отрезка без контакта рассматривается «подвижный» отрезок (или дуга) без контакта и при этом функции в параметрических уравнениях этого отрезка (или дуги) являются аналитическими функциями X. § 5] зависимость картины траекторий от параметра
469
гл. V, § 7) соответствуют значения s, для которых /(s, X) — s = О, т. е. общие точки кривой s=/(s, X) и прямой s = s. Мы видели (см. гл. V, § 7), что на основании характера поведения функции s=/(s, X) вблизи ее точки пересечения с прямой s = s можно сделать заключения о поведении траекторий вблизи предельного цикла.
Предположим сначала, что при X = X0 отрезок без контакта I в точке, соответствующей s = s0, пересекает грубый предельный цикл, т. е. предельный цикл, у которого h ф 0 (см. § 4 настоящей главы, п. 3). Тогда на диаграмме Ламерея кривая s=/(s, X0) будет при s = Se иметь простую точку R0 пересечения с прямой S = S, т. е. общую точку, в которой касательная к кривой s=/(s, X0) не совпадает с прямой s = s, так что /'(s0> z^l Так как функция последования — аналитическая функция X, то кривая s=/(s, X) и ее касательная мало меняются при малых изменениях X, и следовательно, при значениях X, достаточно близких к X0, кривая s=/(s, X) также будет пересекать прямую s = s в точке R, близкой к R0, и не будет иметь других точек пересечения S= ;, достаточно близких к R (рис. 312).
Это означает, что при всех значениях X, достаточно близких к X0, мы будем иметь один и только один (соответствующий значениям s, достаточно близким к s0) предельный цикл, устойчивый или неустойчивый, в зависимости от того, устойчивым или неустойчивым был предельный цикл L0.
Предположим, что значение X = X0 является бифуркационным и что при этом значении X0 у системы (6.22) существует двойной предельный цикл (см. § 4, п. 3), пересекающий отрезок без контакта I в точке, соответствующей значению s = s0, где s1 s0 s9. Тогда кривая, изображающая функцию последования
«=/(«» К),
в точке, соответствующей значению s = s0, имеет простое соприкосновение с прямой s = s. При малых изменениях параметра общая точка у прямой s = s и кривой s=/(s, X) может либо исчезнуть, либо разделиться на две простые точки пересечения (рис. 313). Предположим, например, что при значениях Х<^Х0 общая точка прямой S= s и кривой s=/(s, X) исчезает, а при Х^>Х0 разделяется на две. Тогда при изменении параметра X от некоторого значения Xj<^X0 (|Xj—X01 <^Tj) до некоторого значения Х9^>Х0 у системы сначала нет предельных циклов, пересекающих отрезок без контакта I, а затем появляется один двойной («полуустойчивый») предельный цикл, koto-
с прямой 470 КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гЛ. VI
рый при дальнейшем изменении параметра разделяется на два простых предельных цикла, из которых один устойчивый, другой' неустойчивый '). Обратно, полуустойчивый цикл может получиться от слияния двух циклов, из которых один устойчивый, другой неустойчивый.
Аналогично можно было бы рассмотреть более сложный случай, именно случай ^-кратного цикла (?^=3) при X = X0 и его разделение на k простых циклов или на циклы меньшей кратности, но мы не будем на этом останавливаться. Укажем только, что высказанные
соображения могут быть также изложены в иной геометрической форме и сведены к обычной теории бифуркаций, если ввести рассмотренную выше функцию
X) = / (s, X) s, Очевидно (ср. § 4), корни уравнения
?(s, X) = 0
при всяком данном X соответствуют предельным циклам2).
Мы не будем подробно останавливаться на этой бифуркационной диаграмме, так как она по существу не отличается от бифуркационных диаграмм, рассмотренных ранее, и совершенно аналогичная бифуркационная диаграмма будет подробно рассмотрена для случая появления предельного цикла из состояния равновесия.
4. Появление предельных циклов из сложного фокуса. Рассмотрим теперь случай появления предельного цикла из сложного фокуса (т.е. состояния равновесия, для которого Д^>0, <з = 0) или стягивание
1J Физический пример с такой бифуркацией будет рассмотрен в § 10 гл. IX (жесткое возникновение колебаний в ламповом генераторе).
8) В § 4 было показано, что в случае, когда цикл й-кратный, он заведомо может быть разделен при надлежащих изменениях правой части системы не менее чем на два предельных цикла. Если при заданном X уравнение W (s, X) = 0 обращается в тождество, то это будет означать, что все траектории, пересекающие отрезок без контакта, замкнуты. Этот исключительный случай мы сейчас не рассматриваем. § 5] зависимость картины траекторий от параметра 471
предельного цикла в такое состояние равновесия. Этого вопроса мы также уже касались в § 4. Остановимся на нем здесь еще раз в предположении, что правые части рассматриваемой системы зависят от параметра.
