Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема V. Если система
Sf=p^ % = У)
имеет в области G (ограниченной циклом без контакта С):
1) лишь такие состояния равновесия, для которых A ^O и для которых о -ф 0, если А 0;
2) лишь предельные циклы, для которых h ф 0;
3) лишь такие сепаратрисы, которые не идут из седла в седло, то такая система в области G является грубой.
Не приводя доказательств этой теоремы, сделаем все же к ней небольшое пояснение.
Если динамическая система, для которой выполняются условия 1), 2) и 3), является грубой, то малые изменения ее правых частей не будут менять топологической структуры ее разбиения на траектории, а будут лишь «мало сдвигать» все это разбиение. Но при выполнении условий 1), 2), 3), т. е. при условии, что особые траектории системы (Л) являются лишь простыми предельными циклами и сепаратрисами, не идущими из седла в седло (подробное перечисление возможных видов сепаратрис см. ниже), нетрудно показать, что при малых изменениях правых частей системы (Л) или, иначе говоря, при переходе к измененной системе (Л), особые траектории не меняют своего характера и при этом лишь мало сдвигаются. Этот факт делает утверждение теоремы совершенно наглядным геометрически. Точное доказательство теоремы состоит в фактическом построении для всякой измененной системы (Л), достаточно близкой к системе (Л), такого топологического отображения области G в себя, при котором траектории системы (Л) отображаются в траектории системы (Л) и соответствующие друг другу точки находятся на сколь угодно малом расстоянии друг от друга.
6. Классификация траекторий, возможных в грубых системах. Перейдем теперь к подробной классификации траекторий, возможных в грубых системах.
При этом для определенности предположим, что все траектории системы (Л) в точках цикла без контакта, являющегося границей области G1 при возрастании t входят внутрь этой области. Мы полу-
') Мы приводим это обратное предложение непосредственно после первых трех, хотя доказательство этого предложения (которое мы не даем) частично Основывается на последующем изложении. грувые системы
455
чаем 16 различных видов траекторий (на рис. 304 эти виды траекторий изображены под соответствующими номерами). В нижеследующей таблице эти виды траекторий разбиты на пять основных типов.
(1) (2) (3
Особые (орбитно-неустойчивые) траектории
{фокус (или узел) устойчивый фокус (или узел) неустойчивый седло
устойчивый (4)
неустойчивый (5)
сворачивающаяся с неустойчивого фокуса или
узла (6)
сворачивающаяся с неустойчивого цикла (7)
входящая в область G через граничный цикл
без контакта (8)
стремящаяся к устойчивому фокусу или узлу (9) стремящаяся к устойчивому предельному циклу (10)
II. Предельные циклы
III. Сепаратриса
IV. Траектория, стремящаяся к устойчивому фокусу или узлу
V. Траектория, стремящаяся к устойчивому циклу
Неособые (орбитно-устойчивые) траектории')
сворачивающаяся с неустойчивого фокуса или
узла (11)
сворачивающаяся с неустойчивого цикла (12) входящая в область G через граничный цикл без контакта (13)
сворачивающаяся с неустойчивого фокуса или
узла (14)
сворачивающаяся с неустойчивого цикла (15) входящая в область G через граничный цикл без контакта (16)
Как мы видели в § 2 настоящей главы, область G разбивается особыми (орбитно-неустойчивыми) траекториями на элементарные ячейки, заполненные неособыми (орбитно-устойчивымн) траекториями одинакового поведения. При этом все ячейки можно разбить на два класса: на ячейки, примыкающие к циклу без контакта С, ограничивающему рассматриваемую область G, и на внутренние ячейки. Принимая во внимание перечисленные в грубых системах возможные типы траекторий, нетрудно видеть, что каждая внутренняя ячейка имеет в составе своей границы один «элемент притяжения» или «сток», являющийся либо устойчивым узлом или фокусом, либо устойчивым предельным циклом, и один «элемент отталкивания» или «источник», являющийся либо неустойчивым узлом или фокусом, либо неустойчивым предельным циклом.
*) Можно показать, что в грубых системах все неособые траектории не только орбитно-устойчивы, но устойчивы по Ляпунову и при t — + со и при — оо. Для траекторий, стремящихся при* — + ос (* —— оо) к состоянию равновесия, это устанавливается рассуждением, проведенным в § 3, п. 2, в сноске на стр. 414. Относительно траекторий, стремящихся при t —+ оо (* — — оо) к предельному циклу, см. § 6 гл. V. грубые системы
457
Очевидно, «элемент притяжения» или сток — это множество (D-предельных точек всякой неособой траектории данной ячейки, а элемент отталкивания или источник — множество а-предельных точек всякой неособой траектории ячейки (ср. § 3 настоящей главы, пп. 4 и 5). В каждой ячейке, примыкающей к граничному циклу, существует только один элемент притяжения — «сток»; Нетрудно видеть при этом, что роль различных особых траекторий различна/
Фокусы (или узлы) служат источниками или стоками; хотя они и входят в границы ячеек, но они не играют существенной роли при разбиении фазовой плоскости на ячейки. Состояния равновесия типа седел не могут быть элементами притяжения или отталкивания; как и узлы, они входят в границу ячеек; не играя сами по себе существенной роли при разбиении фазовой плоскости на ячейки, они играют важную роль породителей сепаратрис. Сепаратрисы (усы седла) не могут служить ни источниками, ни стоками, они входят в границы ячеек и играют существенную роль при разбиении фазовой плоскости на ячейки, являясь, так сказать, «водоразделами», отделяющими друг от друга траектории различного поведения. Предельные циклы играют существенную роль при разбиении фазовой плоскости на ячейки и одновременно служат элементами притяжения (ш-пре-дельными множествами) или отталкивания (а-предельными множествами).
