Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Всякая система уравнений, соответствующая реальной физической системе, содержит некоторое число параметров, границы изменения которых определяются из условий задачи. Такими параметрами могут быть, например, коэффициент взаимоиндукции, сопротивление контура и т. д. Предположим, что мы дали этим параметрам некоторые фиксированные значения. Согласно сказанному в предыдущем параграфе мы должны считать, что качественная картина траекторий на фазо-
') Отметим еще одно простое, но весьма важное свойство грубых систем: качественная структура разбиения на траектории всякой грубой системы может быть установлена путем приближенного построения всех особых траекторий (состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис). Точность приближения, с которой особые траектории должны быть построены, определяется некоторой величиной — «мерой грубости» [31]. § 5] зависимость картины траекторий от параметра
465
вой плоскости при данных частных значениях параметров лишь в том случае отображает реальные черты физической системы, если эта качественная картина не меняется при «малых» изменениях параметров, т. е. если при данных частных значениях параметров система является грубойОднако при значительных изменениях параметров характер движения физической системы, вообще говоря, может сильно меняться. Так, например, при одних значениях параметров в системе могут иметь место автоколебания, а при других автоколебания могут отсутствовать. В соответствии с этим при значительных изменениях параметров будет изменяться и качественная картина траекторий, определяемая дифференциальными уравнениями, соответствующими рассматриваемой физической системе.
Нашей задачей и будет изучение изменения качественной картины траекторий на фазовой плоскости при изменении параметров. При этом для простоты мы предположим, что правые части рассматриваемой системы дифференциальных уравнений зависят только от одного параметра I (в случае большего числа параметров рассмотрение аналогично). Таким образом, рассматриваемая система имеет вид:
Мы предположим, кроме того, что правые части Р(х, у, X) и X)
являются аналитическими функциями х и у для значений этих переменных в некоторой области g (не зависящей от X) и аналитическими функциями X для значений X в области X1 X Xa, где X1 и Xa-некоторые постоянные.
Основными теоремами, необходимыми для исследования изменений траекторий при изменении параметра, являются сформулированные в Дополнении I теоремы IV, V и VI. Однако, как мы уже отмечали в § 4 настоящей главы, эти теоремы отвечают лишь на вопрос о том, как при изменении параметра меняется часть траектории, соответствующая конечному промежутку времени, и непосредственно ничего не говорят о том, как будет меняться целая траектория или как будет меняться качественная картина траекторий. Вопрос о том, как может меняться качественная картина траекторий при изменении параметра, требует специального рассмотрения.
1. Бифуркационное значение параметра. Напомним введенное в § 5 гл. II определение бифуркационного значения параметра. Пусть нам дано какое-нибудь значение X = X0 (X1 X0 X2). Если существует такое в (г^>0), что для всех значений X, удовле-
dx
Tt = P(x, у, X);
$=<?(*. ул).
(6.22)
') Или «релятивно грубой», т. е. грубой по отношению к данной зависимости от параметра. Однако для простоты мы будем предполагать систему просто грубой. 466 качественная теория уравнений второго порядка [гл. vi
творяющих условию 1X— X01 <6, топологическая структура разбиения фазовой плоскости на траектории одинакова, то мы скажем, что X = X0 есть обыкновенное значение параметра; значение X = X0 называется бифуркационным значением параметра, если найдутся сколь угодно близкие к X0 значения параметра X, для которых качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории отлична от такой же картины, соответствующей X = X0. Из самого определения бифуркационного значения параметра очевидно, что для такого значения система не может быть грубой.
Качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории, как мы знаем, определяется так называемыми особыми элементами, особыми траекториями (см. § 3 настоящей главы). Поэтому, чтобы изучить зависимость качественной картины фазовых траекторий от параметра, следует изучить зависимость от параметра системы особых элементов. В этом параграфе мы рассмотрим ряд случаев зависимости особых элементов, главным образом предельных циклов, от параметра.
Пусть при X = X0 наша система является грубой, т. е. на фазовой плоскости существует цикл без прикосновения, определяющий собой область Q, внутри которой все состояния равновесия грубые, т. е. таковы, что для них Д ф 0, и при Д 0, а ф 0 все предельные циклы имеют характеристические показатели, отличные от нуля, и сепаратрисы не идут из седла в седло. Очевидно, что в этом случае значение X = X0 не может быть бифуркационным по самому определению грубых систем и по нашему предположению об аналитичности правых частей уравнений (6.22) как функций X.
Действительно, нетрудно видеть, что если X = X0 соответствует грубой системе, то мы всегда можем указать интервал (достаточно малый) значений X вокруг X = X0, чтобы при значениях X из этого интервала система также была грубой, и при этом качественная картина траекторий была бы такой же, как и при X=X0. Отсюда ясно, что не может быть «последнего грубого» (т. е. соответствующего грубой системе) значения X, но может быть «первое негрубое».
