Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно видеть, что здесь могут быть четыре возможности в зависимости от знака а[(Х0) и знака а3 (X0) (согласно сказанному выше Ьх (X) не обращается в нуль, и мы будем считать, что (X) 0). Приведем бифуркационные диаграммы, соответствующие этим случаям, где, как обычно, заштрихованные области соответствуют ЧГ. (г., *)>().
а) аі(Х0)>0, а3(Х0)<0; тогда
(^m >о и т >о.
V dl JX = X0-^ XdrlJro=O
x = x0
Бифуркационная диаграмма представлена на рис. 314. В этом случае при возрастании X фокус из устойчивого делается неустойчивым, и при этом появляется устойчивый предельный цикл (и только один).474
качественная теория уравнений второго порядка [
гл. vI
б) ai (A0) > 0, а3(Х0)>0; тогда
(da! (X)N
dX /X = Xn
>о и т <о.
X = X0
Бифуркационная диаграмма имеет вид, представленный на рис. 315. При возрастании X фокус из устойчивого делается неустойчивым, при
Гп"
Устойчивые ' Неустойчивые фокусы V фокусы
Рис. 314.
S7*,. V/:
Устойчивые і1Неустойчив Фокусы фокусы /
Рис. 315.
этом неустойчивый предельный цикл (только один) стягивается в фокус.
В) ai (Х0)< 0, a, (X0) >0;
da#) <° и >0.
dX A=X0. XdrlJr0 = о
X=X0
В этом случае неустойчивый фокус при возрастании X делается
Неустойчивые предельные циклы
Устойчивые пределЬ' ые циклы
Нецстойчивые\ X0^ Устойчивые \
\
\
-Рис. 316.
Неустойчивые /^o Устойчивые фокусы
устойчивым, и появляется неустойчивый предельный цикл (рис. 316). Г) ^ (X0) <0, a3(X0)<0;
¦ [sa=,«--
X = Xn§ 5] зависимость картины траекторий от параметра
475
При возрастании X неустойчивый фокус делается устойчивым. Устойчивый предельный цикл стягивается в фокус (рис. 317).
Такие же результаты мы получили бы, если бы а3 (X0) = 0 и первый не равный нулю коэффициент был бы a2A+1 (X0), где И в этом случае всегда появляется (или исчезает) один и только один предельный цикл. Случай а\ (X0) = 0 мы рассматривать не будем. В этом случае, вообще говоря, при изменении X могут появиться два, три и т. д. предельных цикла.
Прежде чем перейти к рассмотрению физического примера, заметим следующее. Как мы видели, в простейшем случае (практически наиболее интересном) для решения вопроса нам достаточно знать величины !Xfc(X) только для X = X0. Поэтому для упрощения вычислений следует писать уравнение (6.24) только для X = X0:
dr 1 ^r,, а і //-> \ . Ai ft і (P8)0 sin 0 — (Q8)0 cos 0 і
Tb= ТЖ) [(Ра)о C0S 6 +(Qs)o Sin 6U1 + bi (A0) r-+
і / (P8)0 Sine-(Q8)0 cos 9 і 1 ,fi9-
+ 1-так-) + •••)• (6-25)
где через (P2)0 и (Q2)0 обозначены Pi (г cos 6, г sin 6, X) и Q2 (г cos 6, г sin 6, X) при X = X0, или
% = R,(9. X0)г9 + ^3(O, V)^ + ---.
так как Ri (Х0) 0) = 0. Решение этого упрощенного уравнения одять ищем в виде ряда:
Г = T0H1 + ToH2 -f- TgH3 -f-..., причем н, = 1, а для остальных нЛ(0, X0) получаем уравнения: ^ = Ri (0, X0); du^-=IuiRi (0, X0)-f R3 (В, X0)-
d0
^ = (н! + 2н3)Я2(0, X0) + Зн2Я3 (0, X0) R4 (б, X0);
^ = (2Hi + 2щи3) Ri (0, X0) + (Зн§ + Зн3) R3 (в, X0) +
+ 4н2?4(0, Xo)-ftf5(0, X0)
(6.26)
с начальными условиями ик(0, X0) = 0 (k = 2, 3,...).
Отсюда можно найти а3 (X0), а если а3 (X0) = 0, то а„ (X0) и т. д. Что же касается выражения для оц (X0), которое также необходимо для решения вопроса о стягивании или рождении цикла, то ах (X) и Ь\ (X), нужные для его вычисления, могут быть найдены из обычного уравнения, определяющего характеристические корни.476
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гл. VI
б. Физический пример. Рассмотрим для иллюстрации сказанного так называемое мягкое возбуждение автоколебаний в ламповом генераторе. Уравнение лампового генератора с колебательным контуром в цепи сетки при обычных идеализациях и при аппроксимации характеристики лампы полиномом третьей степени
'о = *а0 + S0U + SiU2 — SiU3,
где ia—анодный ток, и — переменная составляющая напряжения на сетке лампы, а коэффициенты ia0, S9 и S2 положительны, имеет следующий вид (см., например, гл. IX):
LC- + м = (MS0 -RC + 2MS1U — 3MS2M2) ^,
Если ввести безразмерные переменные t = u)0t ^где W0 = ^p=-J, _у = = — (м0 — некоторый масштаб напряжений) и х = ^-, то уравнение
U о ClfZ
колебаний лампового генератора запишется в виде следующей системы двух дифференциальных уравнений первого порядка'):
g = - + (« + ЙУ - ТУ) % = х, (6.27)
где
a = w0 (MS0 — RC), р = 2w0 MS1h0, т = 3(u0 MS2Hg (т > 0).
Будем рассматривать состояние равновесия лг = 0, _у = 0 и будем исследовать возможное рождение цикла из этого состояния равновесия при изменении коэффициента взаимоиндукции обратной связи М. Характеристическое уравнение для этого состояния равновесия имеет вид:
V2 -f (XV -f- 1 = О,
откуда
a. (M) = I = j (MS0- RC),
by (M) = ¦+ Y 1 - T= Y 1 ~ 5 {MSa ~ RCr'
Бифуркационное значение параметра M равно
лл RC
Af0 = -^-,
¦Jo
') Несколько необычное обозначение координат на фазовой плоскости выбрано для того, чтобы система (6.27) при а = 0 прямо переходила в систему вида (6.23) с A1 = 0 и bi = 1 > 0.§ 5] зависимость картины траекторий от параметра 477