Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
равновесия также и системы (Ла). В силу того, что по предположению система (А) является грубой, точки О и О' должны быть седлами системы (Ла), и у системы (Ла) должна существовать сепаратриса La, идущая из седла О в седло О'. Всегда можно взять столь малое чтобы s-окрестность l не содержала кроме О и О'
больше ни одного состояния равновесия системы (А) и, следовательно, ни одной замкнутой траектории целиком (см. следствия I и II из теории индексов и § 8 гл. V), а также не содержала бы кроме L целиком ни одной сепаратрисы седел О и О' системы (Л). При всех достаточно малых а сепаратриса La системы (Ла) будет целиком лежать в этой s-окрестности L. При этом сепаратрисы L и La могут либо иметь, либо не иметь общих точек.
Предположим сначала, что они не имеют общих точек, и рассмотрим простую замкнутую кривую C0, состоящую из L, La и седел О и О'- Эта замкнутая кривая, очевидно, целиком лежит в выбранной .е-окрестности L. Сепаратриса La системы (Ла), очевидно, является «дугой без контакта» для траекторий системы (Л) (так как поле системы (Ла) повернуто на постоянный угол по отношению к полю системы (Л)), так что все траектории системы (А) пересекают La в одном и том же направлении. Среди пересекающих La траекторий системы (А) заведомо существуют траектории, отличные от сепаратрис седел О и О'. Пусть L' — такая траектория. Очевидно, в точке ее пересечения с La L' либо при возрастании, либо при убывании t входит внутрь C0. Предположим, например, что L' входит внутрь C0 при возрастании t. При дальнейшем возрастании t она больше уже не может выйти из C0, так как она не может пересечь L (L, так же как и L', является траекторией системы (Л)) и не может пересечь La, выходя из C0 (так как тогда она должна бы пересечь C0 в противоположном направлении). Следовательно, при t ос L' должна стремиться к предельному множеству, целиком лежащему в C0 и, значит, в выбсанной є-оксестности L. Но в этой окрестности не может лежать никакое предельное множество. Действительно, по самому выбору этой оксестности в ней не лежит ни одно отличное от О и U1 состояние оавновесия и целиком, ни одна замкнутая траектория системы (Л); в ней не может также лежать и предельное множество типа III (см. п. 5 § 2 настоящей главы), так как нетрудно показать, что во всякое такое предельное множество должна непременно входить еще по крайней мере одна отличная от L сепаратриса седла О или О', а в рассматриваемой е-окрестности L кроме L0 не лежит целиком больше ни одна сепаратриса. грубые системы
453
Мы приходим, таким образом, к противоречию, и следовательно, в рассматриваемом случае теорема доказана.
В случае, когда L и La имеют общие точки, мы. рассмотрим простую замкнутую кривую C0, состоящую из точки О и частей траекторий L и La между точкой О и ближайшей их общей точкой (или частей траекторий L и La между двумя последовательными общими точками), и, рассуждая совершенно аналогично предыдущему докажем утверждение леммы также и в этом случае.
б. Необходимые и достаточные условия грубости. Объединяя полученные результаты, можно сформулировать следующие необходимые условия грубости системы (Л) в области G:
I. В области G могут быть только простые (грубые) состояния равновесия, т. ё. такие, для которых действительные части корней характеристического уравнения отличны от нуля. Это требование может быть сформулировано еще и так: в области G не может быть состояний равновесия X = X0, _у=_у0: а) для которых
б) для которых при Д > О a = [Р; (*0, _у0) (? (х0, j/0)] = 0. II. В области G могут быть только простые (грубые) предельные циклы, т. е. такие предельные циклы, для которых характеристический показатель не равен нулю. Это требование может быть сформулировано еще и так: в области G не может быть периодических движений х = <? (t), у = (t) [<р (t + т) = <р (t), ф (t -f т) = ^)], для
III. В области G не может быть сепаратрис, идущих из седла в седло.
В силу этих условий в грубой системе возможны осооые траектории лишь следующих типов: простые (грубые) состояния равновесия, простые (грубые) предельные циклы и сепаратрисы седел, в одну сторону стремящиеся к узлу, фокусу или к предельному циклу или, наконец, при некотором значении t достигающие граничного цикла без контакта.
Очевидно при этом, что предельными траекториями в грубых системах могут быть только состояния равновесия и предельные циклы.
Действительно, если сепаратриса седла является ппелельной, то, как нетрудно видеть, она должна идти из седла в седло, что в грубых системах невозможно.
Д =
Р'х (*0> J'o). Py С*о. JZ0) Qx (*0. J'o). <?i> (*0. J'o)
= 0;
которых 454 качественная теория уравнений второго порядка [гл. vi
Таким образом, требование грубости запрещает сложный характер особых траекторий. Сформулированные выше условия I, II и III являются необходимыми условиями грубости данной системы.
Можно показать, что эти же условия являются достаточными для грубости системы. Именно, имеет место следующая основная в теории грубых систем обратная теорема').
