Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
I. Вокруг каждой точки орбитно-устойчивой полутраектории L+, стремящейся к состоянию равновесия О, всегда можно указать такую окрестность, чтобы все проходящие через точки этой окрестности траектории были орбитно-устойчивы при t —<¦ °° м стремились бы к тому же состоянию равновесия О, что и L+.
') Доказательство конечности числа особых траекторий в общем случае систем, правые части которых — аналитические функции, довольно сложно и заведомо выходит за рамки настоящей книги.
2) Это утверждение доказывается следующим рассуждением, полностью аналогичным проведенным при доказательстве теоремы 1 § 1. Пусть точка Р, граничная для некоторой компоненты, принадлежит особой траектории L0, не являющейся состоянием равновесия (в случае, когда L0 есть состояние равновесия, сделанное утверждение очевидно). Тогда в любой сколь угодно малой окрестности точки P будут находиться точки данной ячейки. Но в силу того, что ячейка состоит из целых траекторий (очевидно, орбитно-устой-чивых), и в силу непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных значений, какую бы отличную от P точку P1 траектории L0 мы ни взяли, в любой сколь угодно малой окрестности точки P1 также будут находиться точки рассматриваемой ячейки, что и означает, что точка P1, а значит и всякая точка L0, также будет граничной для данной ячейки.
3) Подробное доказательство, которое мы "опускаем, основывается на следующих элементарных предложениях. Прежде всего, особая траектория, не являющаяся предельной, может быть граничной не более чем для двух ячеек. В случае, когда особая траектория L0 является граничной для двух ячеек, очевидно, точки одной ячейки лежат по одну ее сторону, а точки другой ячейки — по другую ее сторону. Далее доказывается следующее предложение, основывающееся на предыдущем: всякая особая траектория может быть граничной лишь для конечного числа ячеек.
Отсюда нетрудно показать, что число ячеек конечно. 422 качественная теория уравнений второго порядка [гл. vi
Докажем это утверждение. Для этого заметим прежде всего, что вокруг каждой точки L+, очевидно, всегда можно взять столь малую окрестность, чтобы все точки этой окрестности принадлежали той же ячейке, что и L+'), и, следовательно, являлись бы точками орбитно-устойчивых траекторий. Кроме того, всегда можно взять столь малым s^>0, чтобы Е-окрестность полутраектории L+ кроме состояния равновесия О, к которому стремится полутраектория L+, не содержала бы целиком ни одной орбитно-неустойчивой траектории. Но тогда все полутраектории, проходящие через достаточно малую окрестность любой точки L+, в силу орбитной устойчивости L+ при t—> оо не выходят из Е-окрестности L+, а следовательно, предельное множество этих полутраекторий также лежит целиком в Е-окрестности L+. Но это предельное множество должно состоять из целых особых траекторий, а так как в Е-окрестности L+ лежит целиком только одна особая целая траектория — состояние равновесия О, то, значит, это предельное множество состоит из одного только состояния равновесия О, что и доказывает утверждение I.
II. Вокруг каждой точки полутраектории L+, имеющей отличную от состояния равновесия предельную траекторию, всегда можно указать такую окрестность, что все проходящие через точки этой окрестности траектории орбитно-устойчивы при t—*-|-оо. и при t —> — оо имеют то же предельное множество, что и L+.
III. Вокруг каждой точки замкнутой орбитно-устойчивой траектории существует такая окрестность, что все проходящие через точки этой окрестности орбитно-устойчивые траектории замкнуты и одна лежит внутри другой.
Предложения II и III доказываются рассуждениями, аналогичными проведенному при доказательстве предложения I (с небольшим дополнением), и мы их опускаем.
Используя приведенные вспомогательные предложения, можно доказать ряд теорем, полностью характеризующих поведение траекторий одной и той же ячейки.
Теорема V. Если все траектории, принадлежащие одной и той же ячейке, не замкнуты, то они имеют одни и те же ш-и а-предельные множества.
Для доказательства теоремы предположим противное, т. е. предположим, что существуют две принадлежащие одной и той же ячейке траектории LnL', у которых предельные множества при t-{-со (или t—> — оо) различны.
Соединим какую-нибудь точку А на L и какую-нибудь точку В на L' непрерывной дугой /, целиком лежащей внутри рассматриваемой
') Это, очевидно, следует из того, что по самому определению ячейки она является областью и, следовательно, все ее точки являются внутренними, т. е. всегда можно указать окрестность принадлежащей ячейке точки, целиком состоящую из точек этой же ячейки. § 3] разбиение фазовой плоскости ha траектории 423
ячейки, так что через все точки дуги I проходят орбитно-устойчивые траектории (такая дуга I, очевидно, всегда может быть проведена в силу того, что по предположению траектории LnL' принадлежат одной и той же ячейке). Принимая во внимание сформулированные в настоящем параграфе предложения I и II, нетрудно видеть, что на дуге I всегда найдутся точки двух типов: через точки первого типа проходят траектории, имеющие при t — со то же предельное множество, что и траектория L, через точки второго типа—траектории, имеющие при t —* со то же предельное множество, что и траектория L'. Очевидно, точками первого типа являются все достаточно близкие к А точки дуги I, а точками второго типа — все достаточно близкие к В точки L При движении по дуге I от точки А к точке В мы должны перейти от точек первого типа к точкам второго типа. Следовательно, на дуге I непременно должна быть точка (обозначим ее через M0), являющаяся либо последней точкой первого типа, либо первой точкой второго типа, либо, наконец, через точку M0 проходит траектория, имеющая при >-)-оо предельное множество, отличное от предельных множеств траекторий L и L'. Траектория La, проходящая через точку Ma, очевидно, орбитно-устойчива (так как все точки дуги I принадлежат орбитно-устойчивым траекториям). Но точка M0 не может быть последней точкой первого типа. Действительно, если бы она была точкой первого типа, т. е. траектория La при t — со имела бы то же предельное множество, что и L, то в силу того, что La орбитно-устойчива, и в силу предложений I и II настоящей главы все траектории, проходящие через достаточно близкие к Ma точки дуги I, имели бы то же предельное множество, что и траектория L, и, очевидно, точка Ma не могла бы быть последней точкой первого типа. Совершенно так же можно показать, что точка Ma не может быть первой точкой второго типа. Предположим, наконец, что при t—>-j-со La стремится к предельному множеству, отличному от предельного множества L и от предельного множества L'. Но тогда, в силу предложений I и II, и у всех траекторий, проходящих через достаточно близкие к Ma точки дуги I, было бы то же предельное множество, что у La, а это, очевидно, означает, что точка M0 не могла бы быть первой точкой не первого типа, что противоречит сделанному предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.
