Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
435
личные от состояния равновесия О траектории, проходящие через достаточно близкие к О точки, пересекают прямую 0 = 0 в достаточно близких от начала точках '). Поэтому, рассматривая решение г=/(0, г0) при всех достаточно малых г0, мы рассмотрим все траектории, проходящие через достаточно близкие к О точки. В силу того, что правая часть уравнения (6.9) — аналитическая функция 0'и г, функция /(0,го) будет аналитической функцией 0, г0 (см. теорему III Дополнения I) и может быть разложена в ряд по степеням г0, сходящийся при всех 0 =? 0 =? для всех достаточно малых значений г0 (|г0!<^р0, где р0^>0 — некоторая достаточно малая величина):
г=/(в,гв) = н1(в)гв + н,(в)г3+ ... (6.11)
Так как г = /(0, г0) есть решение уравнения (6.9), то, подставляя выражение (6.11) в это уравнение, мы должны получить тождественное относительно г0 равенство, т. е.
(ж г<> + Ж rl + ' • V = (6) ("1Г° + щг1 + • •0 +
+ /?2(0)(«,Го + "2Г5+ ...)*+ ...
Отсюда, приравнивая выражения при одинаковых степенях г0, мы получим рекуррентные дифференциальные уравнения для определения функций Ui (0):
I
Кроме того, из условия
f (0, г.) = Го
мы, очевидно, получаем:
h1(O)=I, н;-(0) = 0, z = 2,3,...
Этими начальными условиями совместно с дифференциальными уравнениями (6.12) функции Ui (0) определяются полностью. В частности, первое из этих уравнений дает:
и1(в) = е" , откуда, в частности, следует, что при а = 0
h1 (0)=1.
') Это можно показать на основании теоремы 11 Дополнения 1, если принять во внимание, что решение г = О определено при всех 5. 436 качественная теория З'равнений второго порядка [гл. vi
Так как во всех достаточно близких к началу О точках (отличных от О) прямая 0 = 0 не имеет контактов с траекториями системы (Л), то достаточно малый отрезок этой прямой с концом в точке О будет вполне аналогичен отрезку без контакта, хотя один конец его упирается в состояние равновесия. Если в решении г=/(0, г0) положить 0 = 2тг, то, очевидно, при всяком данном г0 (|/"о|<СРо) значение г соответствует «последующей» точке пересечения траектории с полупрямой 0 = 0, а функция г=/(2тг, r0) = U1 (2тг)r0 -f- ... будет полностью аналогична функции последования, о которой шла речь в § 7 гл. V. При этом, конечно, мы должны рассматривать только положительные значения г0, так как отрицательные значения не имеют геометрического смысла. Пользуясь этой функцией, мы можем сделать исчерпывающие заключения относительно возможного характера траекторий в окрестности состояния равновесия О.
Введем функцию \F(r0)=/(2ic, r0) — r0 = а,г0 а2Го -}-...
Здесь
а, = U1 (2тг) — 1 = е ь — 1, *k = Uk (2*), ?>1. Очевидно, значения г0 (и только такие значения), при которых *F(r0)=/(2«, /-„)-/-„ = 0,
соответствуют замкнутым траекториям.
Отметим, что при а = 0, т. е. в случае 4), мы имеем а, = 0. Кроме того, коэффициенты аг в разложении функции гГ(г0) обладают следующими свойствами: если gi1 = 0, то непременно и а2 = 0. И вообще, если gi1 = gil2= ... =aare l = 0, то непременно и а2ге = 0, т. е. первый не равный нулю коэффициент всегда нечетного номера ').
Возможны следующие два случая:
а) Хотя бы один из коэффициентов я¦ отличен от нуля.
*) Покажем, что в случае, когда а = 0, а следовательно и а1 = 0, непременно и Gt2 = 0. Если а = 0, то в формулах (6.12) R1 = ^- = O. Первое из
уравнений принимает вид = 0. Отсюда, принимая во внимание начальные
условия, U1=I. Второе из уравнений (6.12) будет тогда = R2 (0), но
в силу (6.10) ^2(B) есть однородная функция cos 0 и sin 0 третьей степени. Интегрируя обе части последнего уравнения в пределах от 0 до 2л и принимая во внимание, что и» (0) = 0, получим u2 (2я) = 0. Аналогично можно показать, что первый не равный нулю коэффициент а, —нечетного номера (см. [84), а также [13]). 1 грубые системы
437
Пусть Cij — первый из отличных от нуля коэффициентов (в силу предыдущего j — непременно нечетное). Тогда при всех достаточно малых r0 О
^W = Vi+ •••
отлично от нуля. В этом случае все траектории, проходящие через достаточно близкие к О точки, являются спиралями, стремящимися к состоянию равновесия О либо при »--I-00 (когда ау-<^0 и О,
т. е. когда при всех достаточно малых г0 IpC0X^O и или когда
<77.>0 и ?< 0, т. е. Чг(г0)>0 и ^ <0), либо при t— со (когда о.j 0 и 0, т. е. когда при всех достаточно малых г0 f(r0)<Onf <0. или когда яу>0 и ?>0, т. е. <F(r0)>0
и 0). Состояние равновесия имеет характер фокуса. Этот фокус
может быть устойчивым или неустойчивым (в зависимости от знаков b и ау-). Случай а ф 0, т. е. J=It был уже рассмотрен. В случае у 1 мы будем называть состояние равновесия сложным фокусом кратности j или у'-кратным фокусом.
б) Все коэффициенты я; равны нулю.
В этом случае Со) = 0 и> следовательно, все траектории, проходящие через достаточно малую окрестность О, замкнуты. Состояние равновесия О есть центр1).
Указанные два случая, очевидно, исчерпывают все возможности, которые могут здесь представиться.
Мы покажем ниже, что в грубой системе не может быть сложного фокуса и центра. Для этого сделаем некоторые предварительные замечания.
