Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, все траектории,проходящие через достаточно близкие к точке M точки, непременно пересекут (при возрастании і) отрезок L Предположим, что через какую-нибудь отличную от Q точку Q' отрезка I проходит полутраектория L'+, которая, не выходя из єп-окрестности О, стремится к состоянию равновесия О при t —> -(- оо. Нетрудно видеть, что тогда и все траектории, пересекающие часть QQ' отрезка I, при возрастании t не выходят из ?0-окрестности О, так как при возрастании t они входят внутрь «мешка», образованного частями QO и Q'O полутраекторий L? и L'+ и частью QQ' отрезка без контакта.
Если бы отрезок I по обе стороны от точки Q пересекали полутраектории, которые при возрастании t, не выходя из єп-окрестности О, Рис. 297. стремились бы к состоянию равновесия О, то существовала бы окрестность точки О, через все точки которой проходили бы полутраектории, не выходящие из єп-окрестности О, что, очевидно, противоречит предположению. Поэтому через сколь угодно близкие к Q точки отрезка I, хотя бы по одну сторону от точки Q, непременно должны проходить траектории, выходящие при возрастании t из єп-окрестности О (рис. 298). Можно показать, что тогда в случае рассматриваемой нами системы (т. е. системы, правые части которой — аналитические функции) непременно существует отрицательная полутраектория L*", стремящаяся к состоянию равновесия О, ограничивающая вместе с полутраекторией Lm «сед-ловую область» и при достаточно малом є0 имеющая точки вне є0-окрестности состояния равновесия О (см. рис. 298).
Мы будем называть орбитно-неустойчивые полутраектории, стремящиеся к состоянию равновесия (безразлично, к простому, т. е. к седлу, или сложному), сепаратрисами этого состояния равновесия. Отметим при этом, что всякая полутраектория, выделенная из незамкнутой предельной траектории, заведомо является сепаратрисой. Однако очевидно, что сепаратриса может и не быть предельной. В этом случае она является траекторией, отделяющей друг от друга траектории различного поведения. Простой пример представлен на рис. 299.
На основании всего предыдущего мы можем сделать исчерпывающие заключения относительно того, какие полутраектории, а
14* 420 качественная теория З'равнений второго порядка [гл. vi
следовательно и какие траектории, орбитно-неустойчивы. Именно, всякая орбитно-неустойчивая (т. е. особая) траектория принадлежит к одному из следующих типов:
1) состояние равновесия1);
2) предельный цикл;
3) незамкнутая траектория, у которой хотя бы одна полутраектория является сепаратрисой какого-нибудь состояния равновесия.
Свойство траектории быть особой или неособой является свойством топологически-инвариантным. Именно, имеет место следующая теорема:
Теорема IV. Если разбиения на траектории, заданные двумя динамическими системами в ограниченной области G, тождественны, т. е. существует отображение плоскости в себя, при котором траектории этих систем отображаются друг в друга, то орбитно-устойчивые полутраектории отображаются в ор-битно-устойчивые, а орбитно-неустойчивые — в орбитно-неустой-чивые.
Доказательство этой теоремы, не представляющее затруднений, мы опускаем.
4. Элементарные ячейки — области, заполненные неособыми траекториями одинакового поведения. Рассмотрим теперь совокупность всех особых траекторий данной системы (6.1), которую, как и всюду в настоящем параграфе, будем предполагать заданной в ограниченной области плоскости. Можно показать, что при сделанном нами предположении об аналитичности правых частей системы (6.1) число особых траекторий конечно. Для простейшего случая грубых
1) Состояние равновесия является орбитно-неустойчивым в случае, когда к нему стремится хотя бы одна траектория. Если же состояние равновесия— центр, то оно, очевидно, является орбитно-устойчивым. Однако мы во всех случаях будем причислять состояние равновесия к особым траекториям.
Рис. 298.
Рис. 299. § 3] разбиение фазовой плоскости ha траектории 421
систем этот факт может быть просто установлен на основании изложенного в следующем параграфе ').
Особые траектории разделяют область G на частичные области, точки которых являются точками неособых (орбитно-устойчи-вых) траекторий. Граница каждой такой частичной области состоит из точек, принадлежащих особым траекториям, и из точек, граничных для области G. Мы ограничимся здесь рассмотрением только таких областей, в границу которых не входят граничные точки G. Такие области будем называть элементарными ячейками (или просто ячейками). Очевидно, ячейки состоят из целых орбитно-устойчивых (т. е. неособых) траекторий. Кроме того, нетрудно видеть, что граница всякой ячейки состоит из целых особых траекторий2). Точки одной и той же особой траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. На основании того, что число особых траекторий конечно, нетрудно показать, что число ячеек в области G конечно3).
Рассмотрим теперь более подробно, как ведут себя неособые траектории одной и той же ячейки. Для этого приведем сначала несколько простых, но очень важных для дальнейшего вспомогательных предложений.
