Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 155

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 335 >> Следующая


5. Возможные типы полутраекторий и их предельных множеств. Доказанные теоремы позволяют установить возможный характер множества предельных точек полутраектории, целиком лежащей в ограниченной части плоскости. Именно, это множество может быть одного из следующих типов: I. Одно состояние равновесия. II. Одна замкнутая траектория. III. Совокупность состояний равновесия и траекторий, стремящихся к этим состояниям равновесия как при t—>--|-со, так и при t—*¦ — со.

Нетрудно видеть, что состояния равновесия, входящие в множество предельных точек типа III, не могут быть фокусами или узлами, так как всякая траектория, попавшая в достаточно малую окрестность такого состояния равновесия, стремится к нему и не может иметь никакой другой предельной точки. Следовательно, состояния равновесия, которые могут входить в множество предельных точек типа III, в случае, если эти состояния равновесия простые, непременно являются седлами, а отличные ог состояний равновесия траектории, входящие в это множество, — сепаратрисами седел. Зная возможные типы предельных множеств, мы можем сразу сказать, какие типы полутраекторий возможны. Очевидно, мы получаем следующие

') Сформулированная теорема справедлива и при более общих предположениях относительно правых частей динамической системы, в частности в случае кусочно-линейных систем, рассмотренных в главах VIII и X. Не приводя тех очевидных изменений, которые в этом случае должны быть внесены в доказательство теоремы, мы будем пользоваться ею в указанных главах, 410 качественная теория З'равнений второго порядка [гл. vi

возможные типы полутраекторий: 1) состояние равновесия; 2) замкнутая полутраектория; 3) полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия; 4) полутраектория, стремящаяся к замкнутой траектории; 5) полутраектория, стремящаяся к предельному множеству типа III ').

Полутраектории всех перечисленных типов, за исключением последнего, встречались в рассмотренных выше примерах неоднократно. Простейший пример

полутраектории последнего

Неустойчивый Фокус

Рис. 293.

Седло Рис. 294.

типа изображен на рис. 293, где полутраектория L+ стремится к предельному множеству, состоящему из сепаратрисы, выходящей из седла и возвращающейся в то же седло. Более сложный случай изображен на рис. 294, где полутраектория Vr (внешняя) стремится к предельному множеству, состоящему из двух состояний равновесия и четырех сепаратрис, стремящихся к этим состояниям равновесия как при так и при t-*- — оо.

§ 3. Качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории. Особые траектории

1. Топологически инвариантные свойства и топологическая структура разбиения на траектории. Перейдем теперь к основной задаче качественного исследования динамической системы—к установлению качественной картины разбиения фазовой плоскости на траектории. Рассмотрение приведенных в предыдущей главе частных примеров динамических систем приводит к мысли, что для знания качественной картины нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых особых траекторий. Таких особых траекторий в рассмотренных примерах было конечное число, и они разбивали всю совокупность траекторий на области, в которых траектории вели себя одинаково. Особыми траекториями в этих примерах были состояния равновесия, предельные циклы и траектории, стремя-

') Отметим, что в случае, когда фазовая поверхность системы не является плоскостью, приведенные типы траекторий могут не исчерпывать всех возможных типов траекторий. § 3] разбиение фазовой плоскости ha траектории 411

щиеся к седлам, — сепаратрисы седел. Если взаимное расположение этих особых траекторий было известно и, кроме того, было известно, какие из состояний равновесия и предельных циклов устойчивы, а какие неустойчивы, то мы получали полную качественную картину фазовых траекторий. Естественно возникают вопросы: всегда ли существует конечное число таких особых траекторий, знание которых позволяет установить качественную картину фазовых траекторий? Как в общем случае эти особые траектории могут быть охарактеризованы и исчерпывают ли или нет особые траектории, встречавшиеся в рассмотренных выше примерах, вообще все возможные типы таких траекторий? Выяснению всех этих вопросов и посвящен настоящий параграф [17, 80].

Однако сначала нужно уточнить смысл некоторых понятий, которыми мы постоянно пользовались, в частности понятий качественной картины фазовых траекторий и качественного исследования данной динамической системы. Для этого нам прежде всего придется напомнить понятие топологического отображения (или преобразования). Как известно, топологическим отображением называется взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное отображение плоскости в себя (или одной плоскости в другую), т. е. отображение, при котором каждой точке M (X, у) соответствует одна и только одна точка M' (х, у) той же самой (или другой) плоскости; всяким двум различным точкам M1 (X1, ^1) и Mi .Уг) соответствуют две различные точки М[ (X11, _у!) и (Xrsi, ^j) и, кроме того, всяким двум сколь угодно близким точкам M1 и Mi соответствуют сколь угодно близкие точки М[ и M's. Отображение, обратное топологическому, очевидно, также является топологическим, т. е. взаимнооднозначным и непрерывным. Всякое топологическое отображение плоскости в себя (или плоскости в другую плоскость) может быть задано однозначными и непрерывными функциями
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed