Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
1) Д^>0, о2 — 4Д^>0. Корни характеристического уравнения действительные и одинаковых знаков. Состояние равновесия—узел (устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака о).
2) Д<^0. Корни характеристического уравнения действительные и разных знаков. Состояние равновесия — седло.
3) Д^>0, о2 — 4Д<^0, о ф 0. Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные. Состояние равновесия есть фокус (устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака о).
Нетрудно убедиться в том, что в случаях 1), 2) и 3) состояние равновесия является «грубым», т. е. может существовать в грубой системе. В дальнейшем мы остановимся на этом несколько подробнее.
4) Д^>0, о = 0. Корни характеристического уравнения чисто мнимые. В этом случае характер состояния равновесия в общем виде
') Отметим, что при этом существенно требование малости не только добавок р(х, у), q (X, у), но и их частных производных. Действительно, можно показать, что всегда существуют сколь угодно малые добавки р(х,у), q(x,y), у которых частные производные не малы, такие, что в случае Д ф 0 кривые Р(х, У)-гР(х, JV) = 0. Q(x, y)-{-q{x, .у)= 0 будут иметь любое наперед заданное число общих точек, сколь угодно близких k точке О [хл, Уо). § 4] грубые системы
433
не был установлен (для линейной системы состояние равновесия, у которого корни чисто мнимые, есть центр).
Мы рассмотрим этот случай подробно (он рассматривается значительно сложнее, чем случаи 1), 2) и 3)) и покажем, что в этом случае состояние равновесия всегда является «негрубым», т. е. не может существовать в грубой системе.
Метод, с помощью которого мы будем устанавливать характер состояния равновесия в случае 4), применим также и в случае 3). А так как единообразное рассмотрение этих двух случаев удобно для дальнейшего, то мы положим сейчас, что корни характеристического уравнения — комплексные сопряженные.
Предполагая, что состояние равновесия О совпадает с началом координат, и приводя надлежащим линейным преобразованием переменных систему (Л) к каноническому виду, получаем:
-Jct- — ах — by f g(x,y), j 4f = bx-{-ay -\-h{x,y), j
\ (6.7)
где g(x, y), h(x, y) — ряды, расположенные по степеням х и у, начинающиеся с членов не ниже второй степени, а а и b — действительная и мнимая части корней X1 и X2 характеристического уравнения, так что X1 = a-\-jb, X2 = а—jb, где Ьф 0; при аф 0 мы имеем случай 3), а при а = 0 — случай 4).
Функции у) и h(x, у) могут быть представлены в виде:
g(x, у) = P2 (х, у) + P3 {х, у) + ...,
h (дг, у) = Q2 (л:, у) 4- Q3 (л:, у) 4- ... ,
где Pi (дг, у) и Qi (дг, у) — однородные многочлены степени I.
Переходя в системе (Л) (см. (6.7)) к полярным координатам, получим:
dr аг2 + г cos Og- (г cos ft, г sinft) + г sin б h (г cos г sinft)_
dt= г '
= аг 4- г2 [Pi (cos 6, sin 6) cos 6 4- Q2 (cos б, sin 6) sin 6] 4- ... . . . 4-Ti [P1- (cos 6, sin 6) cos 6 4- Qi (cos 6, sin 6) sin 6] 4- ...
— ~ [br2 4-?-(r cos 6,r sin 6) r cos 6 — h (r COS 6, T sin 6) r sin 0] =
= Ь 4~ r [Q2 (COS 6, Sin 6) COS fi — P2 (COS 6, sin 6) sin 6] 4" •• • . . . 4- r'-1 [Q(- (cos 6, sin 6) cos 6 — P1 (cos 6, sin 6) sin 6] 4-... .
Так как b Ф 0, то при всех достаточно малых г, т. е. при всех достаточно малых д; и у,
dt
(6.8) 434 качественная теория З'равнений второго порядка [гл. vi
Это, очевидно, означает, что любая полупрямая
6 : = const
во всех достаточно близких к началу координат точках (отличных от начала координат) не имеет контактов с траекториями, при этом в зависимости от знака b будем иметь: либо либо ^ 0.
Нам удобнее будет в дальнейшем рассматривать вместо системы (6.8) одно уравнение, получающееся делением первого из уравнений (6.8) на второе:
dr __ аг + г2 [P2 (cos 0, sin 0) cos Є + Qa (cos 9, sin 6) sin 6] + ..._„ „
M ~b + r [Qa cos 0 — P2 sin 6| + r8 [Q3 cos 6 — P3 sin 6] + ... K >'
Принимая во внимание, что знаменатель правой части этого уравнения не обращается в нуль при г = 0, мы, очевидно, можем разложить правую часть по степеням г:
= гRi (9) + Mt (0) + ..., (6.9)
где коэффициенты Ri (6) — периодические функции 6 с периодом 2тг, и ряд в правой части сходится при всех 6, во всяком случае для всех достаточно малых значений г. Нетрудно видеть'), что
„ Р» cos 6 + Q2 sin 0 а п п . », (6.10)
Ri (0) = —----I-, (Qi COS 0 — P2 Sin 6). J
Пусть
г = /(в, Г„)
— решение уравнения (6.9), обращающееся в г0 при 6 = 0, так что
/(0, г0) = г0.
Очевидно, всякому такому решению уравнения (6.9) соответствует траектория системы (Л), пересекающая полупрямую 6 = 0 в точке, лежащей на расстоянии г0 от начала; и обратно, всякой траектории, пересекающей полупрямую 6 = 0 в достаточно близкой к началу точке, соответствует решение г=/(6, г0), где г„ принимает некоторое данное значение. Кроме того, нетрудно видеть, что все от-
Выражения для коэффициентов А?; (6) через P1- и Q1- проще всего могут быть получены следующим образом: из (6.9), очевидно, следует тождественное равенство: аг -j- (Ps cos 6 + Q2 cos 6) г2 -j- ... = (Rs + R2r2 -(- ...) х X [b + г (Q2 cos 6 — P2 sin 0) + г2 (Q3 cos B-P3 sin 0) + ...]. Приравнивая члены с одинаковыми степенями, мы получим рекуррентные соотношения для определения Ri (6). В (6.10) через Pi и Q2 обозначены соответственно Pi (cos Я, sin &) и Q2 (cos &, sin Я). § 4] грубые системы
