Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 169

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 163 164 165 166 167 168 < 169 > 170 171 172 173 174 175 .. 335 >> Следующая


Если бы система (А) была грубой, то в любой, достаточно малой окрестности О разбиения на траектории, заданные системой (А) и рассматриваемыми системами (А) (см. (6.16)), должны были быть тождественными. Но это, очевидно, невозможно, так как мы всегда можем взять окрестность точки О такой, чтобы в ней не лежало ни одного предельного цикла системы (А), а в силу предыдущего при достаточно малом а^>0 в этой окрестности заведомо будет лежать предельный цикл системы (А).

Перейдем теперь ко второму возможному для системы (А) случаю, б) Состояние равновесия О системы (А) есть центр. При а ф 0 состояние равновесия О системы (А) является фокусом (устойчивым или неустойчивым в зависимости от знака й). Следовательно, состояние равновесия О имеет различный характер у систем (А) и (А)

1J Этот предельный цикл «рождается» из сложного состояния равновесия О системы (А). грубые системы

441

и система (А) не может быть грубой. Таким образом, теорема доказана.

Из доказанных теорем I и II, очевидно, следует, что у грубой системы возможны только простые состояния равновесия типа 1), 2) и 3). Эти состояния равновесия — «грубые» в том смысле, что разбиения некоторой достаточно малой окрестности такого состояния равновесия на траектории исходной системы (Л) и на траектории всякой достаточно близкой к ней системы (Л) топологически тождественны и мало сдвинуты одно по отношению к другому. В частности, когда состояние равновесия О системы (Л) — седло, состояние равновесия О системы (Л) — тоже седло и сепаратрисы седла О мало сдвинуты по сравнению с сепаратрисами седла О системы (Л)1).

3. Простые и сложные предельные циклы. Грубые предельные циклы. Перейдем теперь к выяснению тех условий, которым должна удовлетворять замкнутая траектория для того, чтобы она могла существовать в грубой системе. Для этого рассмотрим сначала окрестность произвольной замкнутой траектории, не обязательно являющейся траекторией грубой системы. Рассмотрение, которое при этом проводится, аналогично проведенному в случае сложного фокуса и центра. Итак, пусть L0 — замкнутая траектория,

х = <? (t), y = <nt)

— какое-нибудь соответствующее ей периодическое движение и t — период этого движения.

Рассмотрим отрезок без контакта I, проведенный через какую-нибудь точку Q траектории L0, содержащий точку Q внутри. Пусть 6- — параметр на этом отрезке и

S= f (S)

— функция последования на нем2) (см. § 7 гл. V). Введем функцию \F(s)=/(s)— s. Функции f(s) и W (s) являются аналитическими.функциями S (см. § 7, п. 3, гл. V).

Если S0 — значение параметра s, соответствующее точке Q отрезка I, через которую проходит замкнутая траектория L0, то, очевидно,

»F Cs«) = /Cs0) — ^0 = 0.

Если для рассматриваемой замкнутой траектории характеристический показатель h не равен нулю, то, как известно (см. § 7 гл. V),

при 0, т. е. когда (j-)<0 и> следовательно, W (s0)<^0,

') Подробное доказательство этих геометрически очевидных фактов мы не приводим.

2) Напомним, что функция последования строилась так, что «последующие» точки соответствовали значениям t большим, чем «предыдущие». 442 качественная теория уравнений второго порядка [гл. vi

траектория L0— устойчивый предельный цикл, а при h 0, т. е. когда

(2)>1 и, следовательно, lFf(S0)^-O, траектория L0— неустойчивый

предельный цикл.

В обоих этих случаях значение S = S0 является простым корнем уравнения ?"(5) = 0. Поэтому в случае, когда h ф 0, предельный цикл называется простым.

Остановимся теперь на случае, оставленном без рассмотрения

в § 7 гл. V, когда характеристический показатель /г = 0, т. е. — = 1

и, следовательно, W(S0) = O. В этом случае S = S0 есть корень уравнения (F(s) = 0 кратности выше первой. При этом могут представиться следующие две возможности:

1) Хотя бы одна из производных функции 1F (s) не обращается в нуль при s = s0, т. е. существует такое целое что

W (s0) = ... = W <"-» (S0) = 0; ^ (S0) ф 0.

Мы будем иметь, следовательно:

W (S)=(S-S0)» [Ч"*> (S0) (s S0) W^ (S0) + ...].

В этом случае всегда существует 0 такое, что при всех отличных от S0 значениях s, удовлетворяющих неравенству

I 5 — so I < d,

vF (s) не обращается в нуль, т. е. часть отрезка, для точек которой IS — s01 < о!, пересекает только одна замкнутая траектория, именно рассматриваемая траектория L0. Эта замкнутая траектория L0 называется сложным k-кратным предельным циклом.

Рассмотрим случай, когда k—нечетное. Предположим, что Ы < 0. Тогда при s<s0

5r(s)>0, т. е. /(s)>s,

а при s^>s0

?(s)<0, т. е. /(S)O

Следовательно, всякая последующая точка на отрезке I ближе к точке Q (в которой замкнутая траектория L0 пересекает отрезок Г), чем предыдущая. Так как по самому построению функции последования «последующая» точка соответствует значению t большему, чем предыдущая, то, принимая во внимание, что L0 — единственная замкнутая траектория, пересекающая рассматриваемую часть отрезка без контакта /, нетрудно показать*) на основании теоремы IV § 2

') В силу того, что в рассматриваемом случае /'(s0)=l, здесь, очевидно, нельзя провести рассуждения, приведенного в § 7 гл. V. грубые системы
Предыдущая << 1 .. 163 164 165 166 167 168 < 169 > 170 171 172 173 174 175 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed