Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть наряду с системой (Л) рассматривается измененная система (Л), достаточно близкая к системе (Л), вида'2):
dx ~ \
- = ax — by-\-g(x,y),
dv ~ - (6ЛЗ)
7/у = bx-\-ay-\-h (х, у). I
') Можно показать, что в этом случае система (Л) обладает аналитическим интегралом, именно, интегралом вида
х* + у*+А3(х, у)+... =C,
где невыписанные члены содержат х и у в степени не ниже третьей. Отметим еще также, что в случае, когда правые части системы не являются аналитическими функциями, возможен случай, когда существует бесконечная последовательность вложенных друг в друга и стягивающихся в точку замкнутых траекторий, между которыми могут лежать как замкнутые, так и незамкнутые траектории.
-) К такому виду можно, очевидно, с помощью линейной замены переменных привести любую измененную систему, достаточно близкую к системе (А). 438 качественная теория уравнений второго порядка [гл. vi
Вводя полярные координаты, а затем переходя, как и выше при рассмотрении системы (Л), от системы к одному уравнению, мы получим соответствующее системе (Л) дифференциальное уравнение
^ = я(г,6)=я\(6)г + й4(6)г2 + ... , (6.14)
аналогичное уравнению (6.9). Если
Г =/ (8, Го) = «1 (6) Го + щ (6) rg + ¦ • ¦
— решение уравнения (6.14), то, очевидно, для определения функций U1 (6) мы получим такие же рекуррентные дифференциальные уравнения, как и для определения U1 (6), нужно только в них вместо Ri (6) подставить Rt(6).
В частности (так же как и в случае уравнения (6.9)),
Aa
U1(B) = Cs .
Будем, как и в случае системы (Л), рассматривать функцию последования:
г=/(2тг,г0),
а также функцию
xF (го) =7 г0) — г0-Предположим, что построенная для исходной системы (Л) функция
г =/(2ir, г о)
определена при всех значениях г0, удовлетворяющих • неравенству: I го I <С Po (ро — некоторая положительная постоянная).
На основании теоремы V Дополнения I нетрудно показать, что у всякой системы (Л), достаточно близкой к системе (Л), функция
r=f('H, г0)
также определена при всех значениях г0> | г01 р0, и при этих значениях сколь угодно близка к функции /(2тс, г0), а производная ее сколь угодно близка к производной от функции /(2тг, г0).
После этого замечания перейдем к доказательству следующей теоремы.
Теорема II. У грубой системы не может быть состояния равновесия, для которого
д>о, + = грубые системы
439
Для доказательства теоремы предположим противное, т. е. предположим, что у системы (Л), являющейся грубой, есть состояние равновесия, для которого
J/0) > 0, о = 0.
Если предположить, как и выше, что состояние равновесия лежит в начале координат, то система (Л) может быть в этом случае приведена к виду:
% = -by + gix, у) = Р{х, у), I
(6Л5)
VL = bx + h{x,y) = Q{x,y). J
Для нее возможны два указанных случая а) и б), т. е. состояние равновесия О может быть либо сложным фокусом, либо центром.
Покажем, что в обоих случаях можно указать сколь угодно близкую к системе (Л) измененную систему, у которой разбиение на траектории некоторой области, содержащей начало, качественно отлично от разбиения этой области на траектории, заданного системой (Л). Для этого рассмотрим измененную систему (Л):
~=ax — by-^-g(x,y), ]
d (6Л6) % = ay -f bx -f h {X, у), j
у которой а ф 0 (знак а будет фиксирован дальше). Пусть
1Г(г0)=/(2^ /"0)-/-0,
Ф(г0)=/(2«, Го)—/"о
— введенные выше функции, построенные соответственно для систем (Л) и (Л), определенные при всех Г0, jr0j<^p0.
Рассмотрим отдельно случаи а) и б), которые возможны для системы (Л).
а) Состояние равновесия О (0,0) системы (Л) есть «южный фокус. В этом случае не все коэффициенты в разложении 1F (/•„) обращаются в нуль. Пусть a2fr+1 — первый не обращающийся в нуль коэффициент, так что
K1 = I2= ... =aik = 0, н%к+1ф0.
Предположим для определенности, что Ь^>0 и asft+1 0, т. е. что сложный фокус системы (Л) устойчив (совершенно аналогично рассматривается случай, когда сложный фокус неустойчив). В этом случае функция 4L* (/•„) имеет вид:
Ч" (О = ^+4=^+1+ •••), 440
качественная теория уравнений второго порядка [гл. vi
и всегда можно указать столь малое г і р0, чтобы мы имели
Но всегда можно взять измененную систему (A) (см. (6.16)) столь близкой к системе (А), чтобы соответствующая функция 1F (г0) при всех r„, I r01 <[ ро, была сколь угодно близка к функции *F (г„), так что мы имели бы
'і' (Г'и) < о.
С другой стороны, знак функции 4і' (г0)
Ф (/-0) = /-0(81+ •••)
для всех достаточно малых г0 (очевидно, заведомо меньших г0) совпадает со знаком aj.
а
Если взять а^>0, то S1 = е» *—1 0 и, следовательно, заведомо можно указать столь малое <^ г'0, при котором
t (/-;) >0.
Таким образом, мы имеем:
Ф(г,")>0, W- (rS) < 0
и, следовательно, непременно существует Гц (r'o г* <V«) такое, что <ї*(гї) = 0. Это, очевидно, означает, что через точку полупрямой 6=0, соответствующей значению r = rj, проходит замкнутая траектория— предельный цикл — системы (А). Нетрудно убедиться в том, что чем меньше а, тем в меньшей окрестности точки О он лежит').
