Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 164

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 168 169 170 .. 335 >> Следующая


Пусть данная система (6.1)

— в дальнейшем мы будем называть ее «системой (Л)» — рассматривается в некоторой ограниченной области плоскости О. Предположим, кроме того, что граница области Q является «циклом без контакта», т. е. простой замкнутой (несамопересекающейся) кривой С, которую все траектории системы (Л) пересекают и ни одна не касается *). Это предположение (не являющееся необходимым .в излагаемой ниже теории грубых систем) хотя и ограничивает весьма сильно рассматриваемый класс системы, но освобождает дальнейшее изложение от непринципиальных усложнений.

Будем наряду с системой (Л) рассматривать измененную систему

где р(х,у), q(x,y)— малые добавки к правым частям системы (6.1), являющиеся также аналитическими функциями х и у. При этом в дальнейшем, кроме малости самих функций р (х, у) и q (х, у), мы будем требовать также и малости частных производных от этих функций. Измененную систему мы в дальнейшем будем называть «системой (Л)».

Очевидно, при всех достаточно малых р (х, у) и q (х, у) кривая С будет циклом без контакта также и для траекторий системы (Л).

Напомним предварительно основные общие теоремы, касающиеся изменения решений системы дифференциальных уравнений при малых изменениях правых частей этих уравнений. На этих теоремах основывается все дальнейшее изложение. Первая из этих теорем — теорема IV Дополнения 1 — может быть в геометрической форме сформулирована следующим образом:

d* P {х,у)> ^f =Q (х,у)

dx 'dt dy dt

Р(х,у)-\-р(х,у), I \

Q(x,y)Jrq(x,y), J

(6.5)

') Этот цикл без контакта должен быть столь велик, чтобы можно было ограничиться изучением характера траекторий в области внутри него, не суживая физической задачи. § 4] грубые системы 429

Задавая любой конечный промежуток времени, всегда можно взять систему (Л), столь близкую к данной системе (Л), и столь близкие начальные точки, чтобы соответствующие траектории систем (Л) и (Л) в течение выбранного промежутка времени сколь угодно мало отличались друг от друга.

Однако основной для дальнейшего является теорема V Дополнения I, уточняющая по сравнению с теоремой IV характер близости решений систем (Л) и (Л) в случае, когда близки не только правые части систем (Л) и (Л), но и их частные производные.

В силу этой теоремы, если

X = ф (t — t0, х0, _yn), y = ii(t — ta, х0, у0)

— решение системы (Л), а

x = <p(t — tu, X0, у0), y = ty(t — t0, X0, у0)

— решение системы (Л), то на любом конечном промежутке времени не только сами функции ср (t — ^0, х0, _у0) и ср (/ —х0, у0), <f>(t — tu, X^y0) и — ^0, лг0, у0), но и их частные производные

р и Jt-, р- и ?, р- и Jl, р и Jt будут сколь угодно дх0 дх0' дх0 дх0' ду0 ду0 ' ду0 _ду<>

близки, когда правые части системы (Л) и их частные производные достаточно близки к правым частям системы (Л) и их частным производным, а начальная точка M0 (5г0, _уп) достаточно близка к точке M0 (лгп, у0).

На основании приведенных теорем каждая траектория в части, соответствующей конечному промежутку времени, мало меняется при малых изменениях правых частей. Однако отсюда еще вовсе не следует, что она будет мало меняться в течение неограниченного промежутка времени. Отсюда, конечно, тем более не следует, что разбиение на траектории у близких систем всегда имеет одинаковый характер *).

Требование неизменности качественной картины разбиения на траектории, т. е. требование «грубости» системы, может быть мате-

') Простейшим примером системы, у которой качественная картина траекторий изменяется при малых изменениях правых частей, может служить система

dx , . dy

= ах+ by, -yj=~bx + ay,

у которой при а = 0 все траектории замкнуты (начало координат — центр), а при столь угодно малых аф 0 нет ни одной замкнутой траектории (начало координат — фокус). 430

качественная теория З'равнений второго порядка

[гл. VI

магически сформулировано следующим образом: система (Л) называется «грубой» (в области G), если для любого е^>0 можно указать 8 0 такое, что при всевозможных аналитических функциях р (а:, у), q (аг, у), удовлетворяющих в области G неравенствам:

\р(х, J/) |<8, _у)|<8, \р'х(х, j/) I <8, \

I Py (х, У) !<8, I q'x (X, у) I <8, I q'y (х, у) j <8, J

существует топологическое (т. е. взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное) отображение области О в себя, при котором каждая траектория системы (А) отображается в траекторию из-мененной системы (А) и обратно, и при этом соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем е.

Приведем определение «грубых систем» без предположения, что граница области, в которой рассматривается динамическая система, является циклом без контакта. Введем сначала некоторую вспомогательную терминологию.

Пусть G1 и Gf—две замкнутые области. Мы скажем, что эти области е-6лизки, если существует топологическое отображение этих областей друг на друга, при котором соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем Е.

Предположим, что в двух е-близких замкнутых областях G1 и G* определены соответственно динамические системы (Л^ и (Af).
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 168 169 170 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed