Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Примеры односвязных областей даны на рис. 300 и 301 (см. также рис. 306 и 309). Примеры двухсвязных областей даны на рис. 302 и 303 (см. также рис. 305). Жирными линиями на этих рисунках обозначены особые траектории, входящие в границы ячейки2).
') Нетрудно видеть, что число различных типов ячеек (т. е. ячеек с различной топологической структурой разбиения на траектории) в случае, когда ячейка рассматривается без границы, конечно. Число различных типов замкнутых ячеек, т. е. в случае, когда ячейка рассматривается вместе с границей, неограниченно увеличивается при увеличении числа состояний равновесия у динамической системы. Однако в случае грубых систем, рассмотренных в следующем параграфе, независимо от числа состояний равновесия системы существует лишь конечное число типов замкнутых ячеек.
2) Отметим, что в примере на рис. 301 граница ячейки имеет довольно сложный характер. Все точки кривой вида восьмерки являются так называемыми «недостижимыми точками границы»; именно, не существует простой дуги, концом которой являлась бы точка на кривой вида восьмерки, а остальные точки принадлежали бы ячейке. 426 качественная теория З'равнений второго порядка [гл. vi
В заключение остановимся еще в общих чертах, не приводя никаких доказательств, на вопросах, касающихся полного качественного исследования данной динамической системы (Л) в области G.
Особые траектории разделяют область G на частичные области —¦ именно на ячейки и частичные области, в границу которых входят точки границы G- Если мы будем знать топологическую структуру
Рис. 300. Рис. 301.
разбиения на траектории всех этих частичных областей и, кроме того, будем знать их взаимное расположение, то мы будем считать законченным качественное исследование рассматриваемой динамической системы в области G.
Очевидно, для того чтобы знать взаимное расположение частичных областей, необходимо знать расположение особых траекторий и поведение траекторий в ячейках.
Можно показать, что если известен характер каждого состояния равновесия, известно взаимное расположение предельных множеств (состояний равновесия, предельных циклов и предельных множеств типа III; см. § 1), а также расположение сепаратрис, не являющихся предельными, то это позволяет полностью установить топологическую структуру всех ячеек и их взаимное расположение, т. е. по- § 4] грубые системы
427
зволяет полностью установить топологическую структуру разбиения на траектории в области G1).
Доказательство этого факта, основного в вопросе качественного исследования динамических систем и являющегося геометрически совершенно наглядным, хотя и элементарно по идее, но все же далеко выходит за рамки настоящей книги. В следующем параграфе мы вернемся к этому вопросу при рассмотрении грубых систем.
§ 4. Грубые системы [17, 145]
I. Грубые динамические системы. Вопрос о том, какими свойствами должны обладать динамические системы (модели), соответствующие физическим задачам, в общих чертах рассматривался во Введении. Вернемся к этому вопросу и остановимся на нем более подробно.
При написании дифференциального уравнения, как мы уже говорили, мы никогда не учитываем и не можем учесть всех без исключения факторов, которые так или иначе влияют на поведение рассматриваемой физической системы. С другой стороны, ни один из учитываемых нами факторов не может оставаться абсолютно неизменным во время движения физической системы. Когда мы при рассмотрении той или другой конкретной физической задачи приписываем параметрам вполне определенные фиксированные значения, то это имеет смысл только при условии, что малые изменения параметров не изменяют существенно характера движения. Предположим, что рассматриваемая динамическая система соответствует некоторой реальной физической задаче. В правые части такой динамической системы всегда войдет то или другое число параметров, соответствующих тем параметрам рассматриваемой физической задачи, которые учитывались при написании дифференциальных уравнений.
Если эта динамическая система хорошо отображает свойства рассматриваемой физической задачи, то в силу сказанного выше при малых изменениях параметров у нее, вообще говоря, должны сохраняться те черты, которые характеризуют поведение рассматриваемой физической модели. Прежде всего, у динамических систем, соответствующих физическим задачам, при малых изменениях параметров должна оставаться неизменной качественная структура разбиения на траектории. Если же некоторые качественные черты обусловлены определенными количественными соотношениями между параметрами, входящими в дифференциальные уравнения, описывающие физическую задачу, то эти качественные черты исчезают при сколь
') Описание взаимного расположения особых траекторий называется «схемой», определяющей качественную структуру разбиения на траектории (см. 182]). 428 качественная теория З'равнений второго порядка [гл. vi
угодно малом изменении параметров. Ясно, что такие качественные черты, вообще говоря, не наблюдаются в реальных системах.
Поэтому естественно прежде всего выделить класс динамических систе'м, у которых топологическая структура фазовых траекторий не меняется при малых изменениях дифференциальных уравнений. Такие системы мы будем называть «грубыми». В настоящем параграфе дается точное математическое определение грубых систем и устанавливаются их основные свойства.
