Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассуждением, полностью аналогичным проведенному при доказательстве последней теоремы, можно доказать следующую теорему:
Теорема VI. Если внутри какой-нибудь ячейки существует хоть одна замкнутая траектория, то все траектории этой ячейки замкнуты, одна лежит внутри другой, и между любыми двумя траекториями этой ячейки не могут лежать точки, не принадлежащие этой ячейке.
Приведенные теоремы в общем виде устанавливают тот факт, который мы охарактеризовали словами: «неособые траектории внутри 424 качественная теория З'равнений второго порядка [гл. vi
каждой ячейки ведут себя одинаковым образом», и вносят точный смысл в эти слова. Очевидно, это не имеет места для тех траекторий, которые мы назвали особыми.
5. Односвязные и двухсвязные ячейки. Естественно поставить теперь вопрос о том, какие возможны типы отдельных ячеек у рассматриваемых нами динамических систем. Именно, так же как мы говорим о топологической структуре разбиения на траектории области плоскости О, в которой определена динамическая система, можно говорить о топологической структуре разбиения на траектории отдельной ячейки и интересоваться вопросом о классификации ячеек по топологической структуре их разбиения на траектории. При этом мы можем рассматривать либо ячейку как таковую, либо ячейку вместе с границей (состоящей из целых особых траекторий), т. е. замкнутую ячейку, являющуюся замкнутой областью (для. целей качественного исследования больший интерес представляет рассмотрение именно ячеек вместе с границей).
Не останавливаясь подробно на вопросе такой классификации ячеек, мы все же приведем (без доказательств) основные относящиеся сюда предложения.
Основной топологической характеристикой всякой области, а значит, в частности, и ячейки, является число связности'), й вопрос, естественно возникающий первым,—это какова связность, возможная у ячеек.
Следующая теорема, которую мы формулируем без доказательства 2), дает ответ на этот вопрос.
1) Граница всякой области может состоять либо из одного связного куска — «граничного континуума», т. е. замкнутого связного множества, либо из двух, трех и т. д. граничных континуумов (либо из бесконечного числа граничных континуумов, но этот случай не представляет для нас никакого интереса). Если граница области состоит из одного граничного континуума, то область называется односвязной; если из двух, трех и т. д., то область соответственно называется двухсвязной, трехсвязной и т. д. В случае, когда область двухсвязна, трехсвязна и т. д., один из граничных континуумов называется внешним граничным континуумом, остальные — внутренними.
Простейшим примером односвязной области является область внутри простой замкнутой кривой (в частности, внутри окружности), двухсвязной — кольцевая область между двумя простыми замкнутыми кривыми, трехсвязной — область, граница которой состоит из одной внешней замкнутой кривой и еще двух простых замкнутых кривых, лежащих внутри внешней замкнутой кривой и одна вне другой. Отметим при этом, что в случае двухсвязной, трехсвязной и т. д. области внутренние, граничные континуумы, в частности, могут быть отдельными точками. Очевидно, области с различным числом связности заведомо не являются топологически тождественными (здесь мы рассматриваем области как точечные множества и говорим об их топологической тождественности как точечных множеств).
2) Доказательство этой теоремы хотя и просто по идее, но довольно длинно. Оно основывается на следующем вспомогательном предложении: на каждом из граничных континуумов ячейки непременно лежат предельные точки траекторий этой ячейки. § 3] разбиение фазовой плоскости ha траектории 425
Теорема VII. Всякая ячейка не более чем двухсвязна.
Нетрудно видеть, что ячейки, заполненные замкнутыми траекториями, всегда двухсвязны. Это непосредственно следует из теоремы VI и того факта, что внутри замкнутой траектории всегда лежит состояние равновесия. Ячейки, заполненные незамкнутыми траекториями, могут быть как односвязными, так и двухсвязными.
Приведем без доказательства еще одну теорему, в которой устанавливается весьма существенное свойство границ двухсвязной ячейки, заполненной незамкнутыми траекториями.
Теорема VIII. В случае, когда ячейка, заполненная незамкнутыми траекториями, двухсвязна, один из ее граничных континуумов является а-предельным, а другой — ш-предельным множеством для траекторий этой ячейки.
Таким образом, в случае двухсвязной ячейки, заполненной незамкнутыми траекториями, у ячейки не может быть ни одной граничной точки, не являющейся предельной для траекторий этой ячейки.
Используя приведенные теоремы, можно исчерпывающим образом описать границы, возможные у ячеек, и установить условия (геометрически эти условия представляются очевидными), при которых две ячейки, рассматриваемые без границ или вместе с границами, имеют одинаковую топологическую структуру разбиения на траектории '). Однако это рассмотрение выходит за рамки настоящей книги.
В следующем параграфе будет дана исчерпывающая классификация замкнутых ячеек в случае так называемых «грубых» систем. В настоящем же параграфе мы ограничимся только тем, что приведем несколько (геометрических) примеров односвязных и двухсвязных ячеек.
