Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Л-' = Cf (х, у), у' = f(x, у), которые однозначно могут быть разрешены относительно х, у.
X = fi (х\ у'), у = 1i1i (х\ у'),
где tpi и — также непрерывные функции 1J. Очевидно, вид кривых, областей и вообще множеств на плоскости при топологическом отображении может измениться очень сильно, однако некоторые свойства кривых, областей и т. д. остаются неизменными. Так, если на плоскости дана замкнутая кривая (например, окружность), то после любого топологического отображения плоскости в себя кривая, в которую она отображается, также непременно будет замкнутой, хотя вид ее может сильно отличаться от вида исходной кривой (кривая, являющаяся топологическим отображением окружности, называется простой замкнутой кривой). Отрезку прямой после топологического отображения может соответствовать уже не отрезок прямой, а некоторая дуга, однакЪ эта дуга заведомо будет дугой без самопересечения (дуга, являющаяся топологическим отображением отрезка, называется простой дугой). Свойства,
1J Наглядное пояснение того, что такое топологическое отображение плоскости в себя, может быть дано следующим образом. Представим себе, что плоскость сделана из резины, и будем различным образом деформировать ее, именно, в разных местах растягивать или сжимать, нигде не разрывая и нигде не делая складок. Можно сказать, что всякому топологическому отображению соответствует некоторая деформация рассматриваемой резиновой плоскости, выполненная с соблюдением указанных условий. 412 КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ З'РАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гл. VI
остающиеся неизменными при всевозможных топологических отображениях, называются топологически инвариантными свойствами или топологическими характеристиками.
Пусть теперь дана динамическая система (6.1). Она определяет некоторое семейство траекторий или, в другой терминологии, некоторое разбиение плоскости на траектории. Будем рассматривать всевозможные топологические отображения плоскости в себя и смотреть, как при этом изменяется заданное системой (6.1) разбиение на траектории. Очевидно, вид траекторий при этом может сильно измениться, но некоторые черты этого разбиения остаются неизменными или, иначе, топологически инвариантными. Например, остается неизменным число и взаимное расположение замкнутых траекторий, состояний равновесия и т. д.; если состояние равновесия системы (6.1) было седлом, то и после любого топологического преобразования характер его сохранится.
С другой стороны, нетрудно видеть, что фокус или узел топологически тождественны, т. е. всегда можно указать такое топологическое преобразование плоскости в себя, при котором узел преобразуется в фокус и наоборот,— геометрически этот факт совершенно нагляден.
Мы можем теперь перейти к уточнению понятия качественной картины фазовых траекторий или топологической структуры разбиения на траектории. Две топологические структуры разбиения фазовой плоскости на траектории, заданные двумя системами вида (6.1), называют тождественными, если существует топологическое (т. е. взаимно-однозначное и непрерывное) отображение плоскости в себя, при котором траектории одной системы отображаются в траектории другой(при этом траектория отображается в траекторию как при прямом, так и при обратном отображении). Это определение тождественности двух структур является косвенным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории. Можно сказать, что под топологической структурой разбиения на траектории (или, что то же самое, под качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения, которые остаются инвариантными при всевозможных топологических отображениях плоскости в себя. Примеры таких свойств были приведены выше.
Мы скажем, что проведено полное качественное исследование динамической системы, если установлена топологическая структура разбиения на траектории этой системы. Как уже указывалось, на основании рассмотренных частных примеров можно думать, что для установления топологической структуры разбиения на траектории нужно знать поведение не всех траекторий, а ли ль некоторых особых траекторий.
2. Орбитно-устойчивые и орбитно-неустойчивые (особые) траектории. Перейдем теперь к рассмотрению особых и неособых траекторий и наряду с наглядными геометрическими фактами дадим § 3] РАЗБИЕНИЕ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ ha ТРАЕКТОРИИ 413
точные математические формулировки. При этом всюду в дальнейшем будем предполагать, что система (6.1) рассматривается в ограниченной области плоскости G. Будем рассматривать траекторию L, целиком лежащую в области G. Возьмем какую-нибудь положительную полутраекторию выделенную из траектории L и начинающуюся в точке М, и рассмотрим ее є-окрестность. Отметим при этом, что е-окрестность полутраектории Lm непременно содержит є-окрестность предельного множества этой полутраектории.
Мы скажем, что положительная полутраектория Lj^ орбитно-устойчива, если при любом заданном є^> О можно указать такое 8^>0, что у всякой траектории L', при t = t0 проходящей через любую точку M, принадлежащую Ь-окрестности М, полутраектория L'м (точки которой соответствуют значениям t^t^) целиком лежит в s-окрестности полутраектории Lm-
