Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ниже мы будем рассматривать только положительные полутраектории (целиком лежащие, как уже было сказано выше, в ограниченной области плоскости), так как все сказанное относительно положительных полутраекторий, очевидно, справедливо и для отрицательных полутраекторий (с заменой t на —/).
2. Первая основная теорема о множестве предельных точек полутраектории. Докажем теперь следующую теорему, которая позволяет ввести понятие предельной траектории.
Теорема о предельной траектории. Если М* (?*, Tj*) есть предельная точка полу траектории L+, то и все точки траектории L*, проходящей через точку M*, являются предельными для L+.
Мы всегда можем предполагать, что траектория L* отличается от состояния равновесия, так как в случае, когда М*—-состояние равновесия, справедливость утверждения теоремы очевидна. Пусть V) — какая-нибудь отличная от М* точка траектории L*, проходящей через точку М* (u*, Tj*). Траектории L* соответствует 400 качественная теория З'равнений второго порядка [гл. vi
бесчисленное множество движений, отличающихся друг от друга лишь выбором начала отсчета времени, и очевидно, какое бы движение мы ни выбрали, разность значений t, соответствующих данным точкам М* и M', всегда одна и та же; обозначим эту разность через т. Возьмем любое є^>0 и рассмотрим є-окрестность точки М*. В силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных условий для всякого є^>0 всегда можно указать такое 8^>0, чтобы всякая траектория, проходящая при tr= т* через какую-либо точку 8-окре-стности точки M*, проходила бы при значении ^ = через
некоторую точку є-окрестности точки M'. Так как точка М* является предельной точкой для L+, то на Vr существует бесконечное множество точек Mn {хп, уп), соответствующих неограниченно возрастающим значениям tn и находящихся в 8-окрестности точки М*. Но тогда на L+ будет также существовать бесконечное множество точек М'п (х'п, у'п), соответствующих тоже неограниченно возрастающим значениям t'n = tn-\~ т и лежащих в є-окрестности точки M'. При этом в случае, когда т<^0, всегда можно начать со столь большого п = я0, чтобы мы имели t'n0 = tn<! -)- т так что точки М'п (х'п, _Ул) (п ^ я0) заведомо принадлежали бы полутраектории L+. Но є можно взять сколь угодно малым, и следовательно, точка M' является предельной для полутраектории L+. Так как в качестве точки M' можно взять любую точку траектории L*, то, очевидно, всякая ее точка является предельной для L+. Таким образом теорема доказана.
Траекторию L* мы будем называть предельной траекторией для полутраектории L+ или просто предельной траекторией. Очевидно, все точки L* будут либо точками области О, либо точками границы О, т. е. L* лежит в ограниченной части плоскости. Когда предельная точка траектории L является точкой самой этой траектории, то L называется самопредельной траекторией. В силу предыдущего, состояния равновесия и замкнутая траектория являются самопредельными.
Прежде чем переходить к доказательству общих теорем относительно возможного характера предельных траекторий — теорем, которые представляют для нас сейчас наибольший интерес, напомним, что называется замкнутым множеством (в теоретико-множественном смысле), и введем понятие связного множества. Как известно, множество точек (на плоскости) называется замкнутым, если оно содержит все свои точки сгущения. Таким образом, если последовательность точек, принадлежащих данному замкнутому множеству К, стремится к некоторой точке N0, то эта точка N0 непременно является точкой множества К. Замкнутое множество называется связным, если оно не может быть представлено как сумма двух замкнутых множеств, не имеющих друг с другом общих точек. Заметим, что если мы имеем два замкнутых множества без общих точек, то наименьшее из расстояний между любыми двумя точками, из которых одна принадлежит одному множеству, а другая — другому, отлично от нуля.
Пусть К— множество всех предельных точек данной полутраектории L+. Следующая основная теорема характеризует это множество. § 2] теория поведения траекторий на фазовой плоскости 401
Первая основная теорема. Множество предельных точек данной полутраектории L+ является замкнутым, связным и состоит из целых траекторий.
Докажем, что множество К замкнутое (в теоретико-множественном смысле), т. е. что всякая точка сгущения множества К принадлежит К- Пусть M — точка сгущения множества К. Тогда по самому определению точки сгущения в любой ее окрестности есть точки К, т. е. предельные точки полутраектории L+, а следовательно и точки самой полутраектории L+, соответствующие сколь угодно большим значениям t. А это и означает, что M есть предельная точка полутраектории L+.
Для доказательства того, что множество К связное, предположим противное, т. е. предположим, что оно несвязное и, следовательно, в силу того, что оно является замкнутым, может быть представлено в виде суммы двух замкнутых множеств Ki и Ki без общих точек (при этом множества Ki и Ki содержат все предельные точки L+). Наименьшее расстояние между двумя точками, одна из которых принадлежит множеству Ki, а другая множеству Ki, отлично от нуля. Пусть ро — это расстояние. Возьмем и рассмотрим
