Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
е-окрестности множеств Ki и Ki, которые также не имеют общих точек. Так как точки множеств Ki и Ki являются предельными для полутраектории L+, то в их є-окрестностях непременно лежат бесконечные последовательности точек этой полутраектории, соответствующие неограниченно возрастающим значениям t. Но тогда в силу непрерывности полутраектории и вне е-окрестностей множеств Ki и Ki должно лежать бесчисленное множество точек полутраектории L+, соответствующих неограниченно возрастающим значениям t. Так как по предположению полутраектория L+ лежит в ограниченной части плоскости, то эти точки должны иметь хотя бы одну точку сгущения Mi. Поскольку они соответствуют неограниченно возрастающим значениям t, то Mi будет предельной точкой полутраектории L+. Точка Mi не может принадлежать ни множеству Ki, ни множеству Ki (так как точка Mi лежит либо вне е-окрестностей множеств Ki и Ki, либо, в крайнем случае, на границе этих е-окрестностей), и следовательно, у L+ должны существовать предельные точки, отличные от точек множеств Ki и Ki, что противоречит сделанному предположению. Таким образом, второе утверждение теоремы доказано.
Последнее утверждение теоремы — о том, что множество предельных точек полутраектории L+ состоит из целых траекторий, — очевидно, непосредственно следует из предыдущей теоремы.
Так как в силу сделанных предположений число состояний равновесия у рассматриваемой нами системы во всякой ограниченной области фазовой плоскости конечно, то из доказанной теоремы следует, в частности, что в том случае, когда среди предельных точек полутраектории L+ нет точек, отличных от состояний равновесия, эта полу траектория будет иметь- одну и только одну предельную 402 качественная теория З'равнений второго порядка [гл. vi
точку — одно состояние равновесия. Очевидно также, что если К есть множество всех предельных точек данной полутраектории, то при любом сколь угодно малом є 0 все точки этой полутраектории, соответствующие значениям t^>T, где T—зависящая от є величина, будут лежать в е-окресгности множества К.
Мы доказали первую основную теорему для случая траекторий на фазовой плоскости, однако она справедлива и для траекторий на любой фазовой поверхности (например, на торе), а также в фазовом пространстве п измерений (в случае системы п уравнений первого порядка).
3. Вспомогательные предложения. Прежде чем перейти к доказательству второй основной теоремы, которая покажет нам, какие траектории могут быть предельными, нам придется остановиться на ряде вспомогательных предложений, связанных с так называемым «отрезком без контакта». Возьмем на фазовой плоскости какую-нибудь точку M0 (лг0, _у0), отличную от состояния равновесия. Пусть L0— траектория, проходящая через точку M0. Проведем через эту точку прямую D, не касающуюся в точке M0 траектории L0. Очевидно, что мы всегда можем выделить на этой прямой такой отрезок, содержащий точку M0, который ни в одной своей точке не касался бы ни одной из траекторий системы (6.1). Такой отрезок, как известно, и называется отрезком без контакта.
Дадим ряд предложений, относящихся к отрезку без контакта, которые нам будут необходимы в дальнейшем;, некоторые из этих предложений совершенно очевидны, и мы их не будем доказывать.
I. Прямая D делит фазовую плоскость на две части, и мы можем различать две стороны прямой D. Пусть на рассматриваемой траектории L0 задано движение лг = лг(?), у = y(t)1) и пусть точке M0 соответствует значение t = t0. Так как в точке TW0 прямая D не касается траектории L0, то в силу непрерывности правых частей уравнений (6.1) мы всегда можем указать такие tx<C^t0 и t2^>t0, чтобы часть траектории, соответствующая значениям t, удовлетворяющим неравенству ty<^t<^t0) лежала целиком по одну сторону прямой D1 а часть траектории, соответствующая значениям t, лежащим в интервале t0<^t<^t2, целиком лежала по другую сторону прямой.
II. В силу непрерывности правых частей системы (6.1) изображающая точка, двигаясь по любой из траекторий, пересекающих отрезок без контакта, при возрастании t всегда переходит с одной и той же стороны прямой D на другую ее сторону, т. е. все траектории пересекают отрезок без контакта в одном и том же направлении.
Отсюда, в частности, следует, что если какая-нибудь фазовая траектория пересекает отрезок без контакта дважды, то она может
') В следующих предложениях мы будем считать, что если дана траектория L0, то дано и движение по траектории, т. е. решение системы (6.1), соответствующее этой траектории, с некоторым выбранным значением § 2] теория поведения траекторий на фазовой плоскости 403
пересечь его только так, как это показано на рис. 290, но не так, как показано на рис. 291.
III. Сколь бы малое Д 0 мы ни взяли, всегда существует столь малая окрестность точки TH0, что всякая траектория, проходящая при t = t^ через точку этой окрестности, пересекает отрезок без контакта при некотором значении t = t'Q, отличающемся от значения ^0 меньше чем на Д, 1— ^o I
IV. Всякая часть траектории, соответствующая значениям t внутри некоторого конечного промежутка a^^^?, может
