Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Траектория L называется орбитно-устойчивой при ?->--(-оо или ш-орбитно-устойчивой, если всякая выделенная из нее положительная полутраектория орбитно-устойчива. Можно показать (геометрически это представляется очевидным), что если у траектории L хотя бы одна положительная полутраектория орбитно-устойчива, то всякая другая положительная полутраектория, выделенная из этой траектории, также будет орбитно-устойчивой, т. е. траектория L будет орбитно-устойчива при ^-^+со1).
Полутраектории или траектории, не являющиеся орбитно-устойчи-выми при t—>--|-со, называются орбитно-неустойчивыми при t —>• -j- оо, или ш-орбитно-неустойчивыми. Очевидно, если траектория L орбитно-неустойчива при t—>--)-оо и M — какая-нибудь ее точка, то всегда можно указать такое є„^>0, что при любом сколь угодно малом 8 0 найдется траектория L', проходящая при t = t0 через точку S-окрестности точки M и заведомо выходящая при некотором t^>t0 из г0-окрестности полутраектории L. Отметим, что наличие орбитно-неустойчивых траекторий ни в коей мере не противоречил теореме о непрерывной зависимости от начальных значений, так как в этой теореме рассматривается лишь конечный промежуток значений t.
Все сказанное относительно положительной полутраектории с очевидными изменениями может быть повторено и относительно отрицательной полутраектории. Таким образом, мы будем также говорить о траектории, орбитно-устойчивой при t—— оо, или а-орбитно-устойчивой, и о траектории, орбитно-кеустойчивой при t—> — со, или а-орбитно-неустойчивой. Будем называть траекторию L, орбитно-устойчивую как при t —>• оо, так и при — оо, орбитно-устойчивой или неособой. Всякую траекторию, не являющуюся орбитно-устойчивой, будем называть орбитно-неустойчивой или особой. Таким образом, особая траектория непременно орбитно-неустой-
') Точное доказательство этого геометрически очевидного факта не совсем тривиально. 414 КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ З'РАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гл. VI
чива хотя бы в одну «сторону», т. е. она может быть орбитно-неустойчивой при t —> —|— со или орбитно-неустойчивой при —-со или орбитно-неустойчивой и при t—-со, и при t ——j— со.
Напомним при этом (см., например, гл. II, § 7), что траектория, являющаяся орбитно-устойчивой при может не быть
устойчивой по Ляпунову при t—>--|-со.
Введенное таким образом понятие орбитной устойчивости и неустойчивости полутраектории и траектории характеризует поведение этой полутраектории или траектории не самой по себе, а по отношению к близким полутраекториям и траекториям. Поясним эти понятия на примерах траекторий, встречавшихся в рассмотренных выше динамических системах. Очевидно, всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия типа узел или фокус, орбитно-устойчива J). Орбитно-устойчивыми будут и все полутраектории, стремящиеся к предельным циклам. Орбитно-устойчивыми, т. е. неособыми траекториями, очевидно, будут траектории, стремящиеся при ^-*--)-""00 и —-со к узлам или фокусам или при t Jr со (t — со) стремящиеся к узлу, а при t —¦ со (t со) —¦ к предельному циклу, а также траектории, стремящиеся к предельным циклам и при и при —-оо (все такие траектории орбитно-устойчивы и при t —»--j-со, и при t->-—-со).
Из этих примеров нетрудно видеть, что в случае, когда траектория неособая (орбитно-устойчивая), все близкие к ней траектории ведут себя весьма похожим образом. Но это совершенно не имеет места для тех траекторий, которые мы выше причисляли к «особым». Начнем с состояний равновесия. Узлы и фокусы орбитно-устойчивы или при t —> -)- со, или при t —> —¦ со, но никогда не могут
') Хотя геометрически этот факт совершенно нагляден, мы' все же проведем то рассуждение, с помощью которого он доказывается. Как мы видели в случае, когда состояние равновесия О есть узел или фокус, существует семейство эллипсов без контакта, вложенных друг в друга и стягивающихся к точке О. При любом е>0 всегда можно указать эллипс без контакта С?, целиком лежащий в е-окрестности точки О. Но е-окрестность всякой стремящейся к О полутраектории непременно содержит е-окрестность ее предельной точки О, и поэтому точки внутри такого эллипса С? принадлежат е-окрестности любой стремящейся к О полутраектории. Пусть Lh — одна из таких полутраекторий. Очевидно, в конечное время t она достигнет этого эллипса Ce, войдет в него и уже больше из него не выйдет. Но, в силу непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий, вокруг точки M всегда можно указать такую 8-окрестность, чтобы все траектории, проходящие при некотором значении t = <0 через точки этой 5-окрестности, в течение конечного промежутка значений t достигли бы эллипса без контакта С?, не выходя до этого из е-окрестности полутраектории Ltі (или, точнее, из е-окрестности части Lm до ее пересечения с эллипсом без контакта); войдя в эллипс Ct, они, очевидно, из него уже больше не выйдут, а следовательно, не выйдут из е-окрестности Lm. Так как все сказанное справедливо при любом е > 0, то отсюда, очевидно, следует орбитная устойчивость Lm. § 3] РАЗБИЕНИЕ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ ha ТРАЕКТОРИИ 415
