Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
быть орбитно-устойчивы и при t—>--|-оо, и при t-*- — со; седло орбитно-неустойчиво и при t—»--j-oo, и при t—>— оо. Устойчивые и неустойчивые предельные циклы в отношении орбитной устойчивости ведут себя так же, как фокусы и узлы, т. е. могут быть орбитно-устойчивыми либо только при >--|-оо, либо только при t-*- — со. Полутраектории, стремящиеся к седлу (сепаратрисы седел), орбитно-неустойчивы. Действительно, если Lm — стремящаяся к седлу полутраектория, то всегда можно указать такое е^>0, чтобы при любом полутраектории, отличные от самой Lm, проходящие
через точки 8-окрестности точки М, при возрастании t непременно выходили бы из ?0-окрестности Lm-
3. Возможные типы особых и неособых траекторий. Дадим теперь доказательство основных общих теорем об особых траекториях и о качественной картине разбиения фазовой плоскости на траектории.
Теорема I. Всякая траектория, являющаяся предельной для какой-либо отличной от нее траектории, является особой, т. е. орбитно-неустойчивой.
Пусть L* — траектория, являющаяся предельной хотя бы для одной отличной от нее самой траектории L (пусть для определенности L стремится к І* при >--|-со). Если L*—состояние равновесия, то на L заведомо всегда найдется точка М, находящаяся на расстоянии d, отличном от нуля, от этого состояния равновесия. Если L* не является состоянием равновесия, то на L также непременно найдутся точки (обозначим одну из них через М), находящиеся на отличном от нуля расстоянии от точек траектории L.
Действительно, таких точек могло бы не быть только в том случае, если бы траектория L была предельной траекторией для L*. Но это невозможно, так как у L есть отличные от состояний равновесия предельные точки, именно точки L*, а тогда, в силу теоремы III, L не может быть предельной ни для одной траектории, в частности для L*. Возьмем теперь t0<^d. Тогда точка AI будет лежать вне е0-окрестности L*. Но L* — предельная траектория для L и, следовательно, при любом 8 0 в 8-окрестности всякой точки L* будут находиться точки L, соответствующие (при некотором выборе движения на L) сколь угодно большим значениям t, ив частности большим того, которому соответствует точка М. А так как точка M траектории L по самому выбору е0 лежит вне е0-окрестности L*, то отсюда, очевидно, следует, что L* во всяком случае орбитно-неустойчива при t—> — со (а-орбитно-неустойчива). Таким образом, теорема доказана.
Рассмотрим теперь полутраекторию, среди предельных точек которой есть отличные от состояний равновесия. Пусть L+.— такая полутраектория И К — ее предельное множество, е -окрестность предельного множества К является частью е-окрестности L+. При этом для всякого е^>0 можно указать такое T(t), чтобы точки Vr, соответствующие значениям t^>T, целиком лежали в є-окрестности К.416 КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ З'РАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гл. Vi
Пусть P-—какая-нибудь отличная от состояния равновесия точка множества К и I-—отрезок без контакта, проведенный через эту точку. Как мы знаем (см. предложение VII), на отрезке I лежит последовательность точек полутраектории P1, A2, ... , Pn, соответствующих неограниченно возрастающим значениям t и стремящихся к точке Р. Будем обозначать через Ci замкнутую кривую, состоящую из дуги Pi Рі+1 полутраектории L+ и части PiPi vi отрезка I (такие замкнутые кривые рассматривались в предложении V).
Все замкнутые кривые Ci, начиная с достаточно большого і, очевидно, лежат целиком в є-окрестности предельного множества К. При этом предельное множество К лежит либо внутри всех этих
кривых Ci, либо вне всех этих кривых (рис. 295 и 296). Рассмотрим область Gi, граница которой состоит из замкнутой кривой Ci и предельного множества К (см. заштрихованные области на рис. 295 и 296). При любом є^>0, начиная с некоторого достаточно большого /, всякая область G1 целиком содержится в є-окрестности К1). Очевидно, все отличные от Z3l41 и P точки части PmP дуги I принадлежат области Gi.
После этих предварительных замечаний докажем следующую теорему:
Теорема II. Незамкну тая полутраектория L+, имеющая среди своих предельных точек отличные от состояний равновесия, является орбитно-устойчивой.
Для доказательства теоремы достаточно показать, что при любом е^>0 все траектории, проходящие через достаточно малую окрестность какой-либо точки полутраектории L+, с возрастанием t в конце концов войдут внутрь є-окрестности предельного множества К и больше уже не выйдут из нее. В силу предыдущего, при любом Є>0 можно указать такое целое число / (зависящее от є), что при всяком
') Геометрически этот факт очевиден, однако точное доказательство его проводится хотя и элементарным, но довольно кропотливым рассуждением.
Рис. 295.
Рис. 296.§ 3] РАЗБИЕНИЕ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ ha ТРАЕКТОРИИ 417
область Gi, граница которой состоит из кривой Ci и множества К, целиком лежит в е-окрестности К.
Пусть M — какая-нибудь точка полу траектории L+ и — ка-
кое-нибудь фиксированное целое число. В силу предложения VIII всегда можно указать столь малую окрестность точки М, чтобы всякая траектория, при t = ta проходящая через точку этой окрестности, пересекала при некотором t= T дугу I в точке, сколь угодно близкой к точке Ріт\, и, во всяком случае, в точке, лежащей между точками Pi и Рі+І (см. рис. 295 и 296). Но при значениях t~^>T эта траектория, очевидно, будет находиться в области Gi и выйти из этой области не может.