Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Это предложение (справедливое как для так и для tl<^t0)
является следствием теоремы о непрерывной зависимости от начальных условий и предложения III.
4. Вторая основная теорема о множестве предельных точек полутраектории. Если полутраектория L+ не замкнута и имеет хотя бы одну предельную траекторию, не являющуюся состоянием равновесия, то она сама не может быть предельной.
Пусть L* — траектория, не являющаяся состоянием равновесия,— предельная для полутраектории L+. Будем доказывать теорему от противного. Предположим, что полутраектория L+ сама является предельной для некоторой полутраектории L+, и покажем, что мы придем к противоречию.
Возьмем какую-нибудь точку P на траектории L* и проведем через эту точку отрезок без контакта Так как точка P является 406 качественная теория З'равнений второго порядка [гл. vi
предельной для полутраектории L+, то на отрезке I будет лежать бесчисленное множество точек траектории L+, расположенных в порядке возрастания t (предложение VII).
Возьмем три последовательные точки пересечения L+ с /: P1, Pi, P3; так как мы предположили, что траектория L+ сама является предельной для полутраектории Lf, то, в частности, предельной для полутраектории Lf будет точка Pi. Тогда, опять-таки на основании предложения VII, либо на отрезке PiPi, либо на отрезке PiP3 должна быть последовательность точек полутраектории Lf, стремящихся к точке Pi. Мы покажем, что это невозможно, так как полутраекто-рия L{ может пересекать каждый из отрезков PiPi и PiP3 только по одному разу.
Действительно, пусть О — одна из точек пересечения полутраектории Lf с отрезком PiPi. Изображающая точка, помещенная в момент f = x в точку Q, при значениях либо войдет в область, лежащую внутри замкнутой кривой P1MP2P1, образованной дугой PiMPi полутраектории L+ и отрезком без контакта PiPi, либо выйдет из этой области. Пусть, например, изображающая точка при входит в указанную область, тогда она уже не сможет выйти из нее, так как она не может выйти ни через дугу PiMPi (траектории не пересекаются), ни через отрезок PiPi (все траектории пересекают отрезок без контакта в одном и том же направлении). Следовательно, изображающая точка уже не сможет пересечь отрезок P1Pa при
Совершенно такое же рассуждение можно провести для того случая, когда изображающая точка выходит при в область вне
замкнутой кривой PiMPiPi; ясно, что аналогичное рассуждение справедливо и для отрезка PiP3- Таким образом, предположение, что полутраектория L+ есть предельная для полутраектории Lf, приводит к противоречию, и теорема доказана.
В частности, из этой теоремы следует, что незамкнутая траектория не может быть самопредельной, так как в противном случае она имела бы предельную траекторию, не являющуюся состоянием равновесия, — саму себя, а с другой стороны сама являлась бы предельной.
Эта теорема отражает черты, характерные для плоскости, и может не быть справедливой для траекторий в других фазовых пространствах. Она не справедлива, например, для траекторий на торе, а также в случае системы трех уравнений, аналогичных системе (6.1), когда фазовым пространством является эвклидово пространство трех измерений.
Из второй основной теоремы следует невозможность других типов предельных траекторий, кроме: 1) состояний равновесия, 2) замкнутых траекторий, 3) незамкнутых траекторий, имеющих в качестве предельных точек только состояния равновесия, так как в силу этой теоремы никакая незамкнутая предельная траектория сама уже не может иметь предельных точек, отличных от состояния равновесия. Мы добавим ко второй основной теореме еще две теоремы, ко- § 2] теория поведения траекторий на фазовой плоскости 407
торые позволят установить, какие комбинации из названных типов предельных траекторий возможны в качестве множества всех предельных точек полутраектории.
Теорема III. Если полу траектория L+ имеет замкнутую предельную траекторию L9, то L9 является единственной Предельной траекторией для L+.
Если сама полутраектория Lr замкнута, то все ее точки являются предельными для нее самой, и ясно, что никаких других предельных точек у нее быть не может. В этом случае теорема очевидна.
Предположим теперь, что L+ не замкнута. Докажем сначала, что сколь бы малое г 0 мы ни взяли, все точки полутраектории L+, начиная с некоторого значения t = ty (зависящего от є), будут находиться внутри є-окрестности траектории L0. Пусть полутраектории L+ соответствует движение х = х (t), y=y(t), а траектории L0 x = x(t), у =у (t). Так как траектория Lri замкнута, то x(t) и у (t) — периодические функции, т. е. существует такое h (период движения по L0), что
*(f + A)==*(f), y(t + h)=y(f).
Возьмем какую-нибудь точку P траектории L9, соответствующую значению t = z. Эта же точка будет соответствовать и значениям X —А, т -j- 2h,.... Напомним, что в силу автономности системы уравнений (6.1) мы всегда можем выбрать движение по траектории L0 так, чтобы значение т, которому соответствует точка Р, было любым выбранным значением.
Проведем в точке P отрезок без контакта I, целиком лежащий внутри рассматриваемой г-окрестности (г можно взять сколь угодно малым). В силу предложения VII на отрезке без контакта находится
