Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если при всех значениях t^t0 (или t^t0), при которых определено решение (6.1), изображающая точка M\x(t), y(t)} остается в некоторой ограниченной части плоскости, то это решение заведомо определено при всех значениях t, оо (или при —оо<^ так чт0 в этом случае точкам полутраектории Lm0 (Lm0) соответствуют всевозможные значения (^ta Если изображающая точка M[x(t), y(t)] остается в некоторой ограниченной части плоскости при всех t, при которых определено решение (как так и t^.t0), то решение, очевидно, определено при всех t, -OO t -f- оо.
Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только такие полутраектории и траектории, которые целиком лежат в некоторой 398
качественная теория З'равнений второго порядка [гл. Vi
ограниченной части плоскости (они и представляют основной интерес) и в дальнейшем не будем это оговаривать каждый раз. Иногда, чтобы подчеркнуть, что рассматриваются все точки траектории, мы будем называть ее целой траекторией.
Существенными для дальнейшего являются понятия предельной точки полутраектории и предельной траектории. Точка Ж* называется предельной точкой положительной полутраектории Lv (или соответственно отрицательной полутраектории Lr), если при любом сколь угодно малом є^О и любом сколь угодно большом T>ta (любом 7"<^/0) в є-окрестности точки Ж* имеется точка полутраектории L+(Lr), соответствующая значению T (или соответственно ^^7")1).
Из приведенного определения предельной точки а) полутраектории непосредственно следует, ЧТО если Tj* — координаты предельной точки Ж* положительной полутраектории Z.4", то существует последовательность неограниченно возрастающих значений t\
tv ti, ... , tn, ... (*„— + OO при я—-fco) таких, что
lim x(tn) = l* и lim y(tn) = T\* (6.4)
п —» -j- oo л—»-{-оо
Очевидно, обратно, из существования последовательности неограниченно возрастающих значений tn, для которой выполняются условия (6.4), следует, что точка Ж* (?*, tj*) есть предельная точка полутраектории L+. Очевидно также, что если точка Ж* есть предельная точка' полутраектории Lv при некотором выборе начального положения изображающей точки Ж0 на L+, то она будет также предельной точкой Lv и при любом другом выборе точки M9 на L+.
Точка Ж* называется предельной точкой целой траектории L, если Ж* есть предельная точка либо для положительной полутраек-
В дальнейшем мы неоднократно будем рассматривать точки, лежащие на расстоянии, меньшем некоторого заданного є, от данной точки или от данной траектории, полутраектории и т. и. или, вообще, от заданного множества точек АГ. Совокупность всех точек, находящихся на расстоянии, меньшем є, от точек заданного множества АГ, мы будем (ради краткости) называть s-окре-стностью этого множества. Таким образом, e-окрестность данной точки составляют все внутренние точки круга радиуса s с центром в этой точке.
2) Термин «предельная точка» употребляется и в теории множеств. Точка М* называется в теории множеств предельной точкой множества АГ, если в любой сколь угодно малой ее окрестности лежат точки множества АГ, отлич-
ные от М*. Не следует смешивать эти два понятия. Например, состояние равновесия является предельной точкой для самого себя (в смысле определения, данного в тексте), но не является предельной точкой в теоретико-множественном смысле. В самом деле, в этом случае все множество AT состоит из единственной точки (из состояния равновесия) и поэтому в любой окрестности состояния равновесия не содержится никаких отличных от него точек множества АГ.
Вместо термина «предельная точка» в смысле теории множеств мы во избежание путаницы будем пользоваться термином «точка сгущения». § 2] теория поведения траекторий на фазовой плоскости 399
тории L+, либо для отрицательной полутраектории L~, выделенной из траектории L (в первом случае М* часто называют («-предельной точкой, во втором — а-предельной точкой траектории L).
Предельная точка траектории L может как принадлежать самой траектории L, так и не принадлежать ей. Поясним это на примерах тех полутраекторий, которые встречались в рассмотренных выше частных случаях динамических систем. Всякое состояние равновесия является своей единственной предельной точкой (как W-, так и а-предельной). Все точки замкнутой траектории, очевидно, также являются ее со- и а-предельными точками. Действительно, соответствующее замкнутой траектории L движение
x = x{t), y=y(t)
является периодическим (с некоторым периодом Tfs) и каждая точка УИ(?, fj) этой траектории соответствует бесчисленному множеству значений t:
Z11 = T, ti = т+Г0..... /Л = т+(л—- 1)Г0, ... ,
а также
t[ = z, t't = -z-Tfi..... ^ = X-(M-I)T10,...
Поэтому она согласно определению является как о>-, так и а-предельной точкой L (в рассматриваемом случае x{t„) = t, y{tn) = -ц при любом п). Траектория, стремящаяся к состоянию равновесия (как в случае узла и фокуса, так и в случае седла), имеет своей единственной предельной точкой это состояние равновесия. Для полутраектории L+ (или L'), имеющей вид спирали, наматывающейся на предельный цикл, очевидно, все точки этого предельного цикла являются предельными. Очевидно, в двух последних примерах предельная точка не являлась точкой соответствующей полутраектории.
