Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
При 0 К— 1 ]/? автоколебания в схемах близки к синусоидальным, о чем можно судить по тому, что форма предельного цикла на рис. 286 (р, = 0,2 и K = 1,2) близка к эллипсу. При увеличении «возбуждения» схемы (при увеличении К или при уменьшении [1, когда неравенство К—1 уже не соблюдается) форма пре-
дельного цикла искажается (рис. 287 и 288) и автоколебания становятся все более и более отличными по форме от синусоидальных1). При [A^l и —1 автоколебания приближаются к разрывным
(рис. 28?), так как фазовая скорость движения изображающей точки вне кривой (5.93а) становится, как это следует из второго уравнения (5.89), очень большой (она стремится к бесконечности при >0), мы получаем фазовый портрет мультивибратора с одной 7?С-цепью и с малой паразитной емкостью C1 (C1 С). При малых р. (т. е. при C1 С) предельный цикл лежит в малой (тем меньшей, чем меньше JI.) окрестности кривой абвга, которая состоит из дуг кривой (5.93а) и отрезков горизонтальных прямых и является предельным положением (при |л—0) предельного цикла. Этим обстоятельством, характерным не только для мультивибратора, мы будем широко пользоваться при рассмотрении различных систем с «разрывными колебаниями» (см. главу X).
Графическое интегрирование позволяет, таким образом, не только получить ответы на вопрос о поведении системы при данных значениях ее параметров, но и проследить, как изменяется поведение системы при изменении того или иного из ее параметров. Правда, для этого нужно выполнить значительное число построений. Однако в некоторых случаях такого общего обозрения поведения системы не требуется, и возникает лишь вопрос о поведении системы при данных начальных условиях, что можно приближенно описать при помощи тех значений, которые будут получать координата и скорость системы через определенные промежутки времени после начального момента ^0- Например, если мы изучаем какой-либо периодический
') Именно поэтому в схемы ЛС-генераторов синусоидальных колебаний с малым клирфактором обязательно вводятся дополнительные элементы (терми-сторы, ограничительные диоды), которые ограничивают амплитуду автоколебаний и обеспечивают автоматически выполнение неравенства 0 <.К—I^ Ун-Рис. 286.
Рис. 287.Рис. 288.
Рис,
289.394
динамические системы второго порядка
[гл. ¦ V
процесс и знаем одно из состояний, соответствующих этому периодическому процессу, а также хотя бы приблизительно период этого процесса т, то достаточно вычислить значения координаты и скорости,
разделенные промежутками времени, допустим, в Л, чтобы получить
представление о ходе всего процесса. Такие задачи — вычисление значений функций, определяемых данными дифференциальными уравнениями (и данными начальными условиями), — можно производить при помощи одного из методов приближенного численного интегрирования, например метода Адамса или метода Рунге. Этот последний метод наиболее прост и для рассматриваемых нами вопросов, пожалуй, наиболее пригоден; поэтому мы и изложим вкратце его применение к интересующим нас задачам'). Мы имеем два дифференциальных уравнения:
g = />(*,.У), % = Q{x,y), (5.1)
и начальные значения при t = t0: х = х0, у=у0. Нужно вычислить приращения значений х и у за малый промежуток времени Дt. Для этого составляют выражения:
Ax1 = P (лг0, у0) At, Ayl = Q (Jf0, Уо) At,
Ах, = P (х0 + , jz0 + Щ At, Ayi = Q (х0 +у0 + ^l) At,
Ax3 = P ^jf0 -(- -^p-, у0 -(- Щ At; Ay3 = Q + , yt + Щ At,
Axl = P (Jf0 + Ахъ, Уо + ДУз) ^yl = Q (X0 + Длгз> У а + Д-Уз) М.
Тогда приращения функции Jf ну за малый промежуток времени At могут быть с большой степенью точности выражены следующим образом:
Дх = 4 [ + Дх3 + ^fi]; АУ = T [+ д^з + .
Мы получаем значения функции х ну в момент времени ^ = ^-(-At: Jf1 = Jf0 -(- Дjf; ух = у0 -}- Ay. Принимая X1 Hjz1 за новые начальные значения, мы можем вычислить значения хну для момента ^0 —(— и, продолжая таким образом дальше, получить ряд последовательных значений X и у, разделенных промежутками времени At. Для определения каждой пары значений хну, как видим, требуется вычисление четырех значений функции P и четырех значений функции Q. Если функции PnQ сложные, то это вычисление становится весьма громоздким. В этом случае удобнее может оказаться метод Адамса.
') Более подробные сведения о методе Рунге, а также изложение других JieTOflOB численного интегрирования можно найти в [110, 76].ГЛАВА VI
ОСНОВЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА*)
§ 1. Введение
Настоящая глава имеет чисто математический характер. В ней уточняются некоторые понятия, которыми мы пользовались в предыдущей главе, и доказываются те предложения, на которые мы опирались, рассматривая приведенные там примеры динамических систем второго порядка 2).
Как и в гл. V, мы будем рассматривать систему дифференциальных уравнений второго порядка (динамическую систему)
ft=P(X, у), Q=Qix, у) (6.1)
с аналитическими на всей фазовой плоскости х,у функциями Р(х,у) и ф(дт,_у). Мы предположим, кроме того, что функции Р(х>у) и Q(x,y) не имеют общего множителя, отличного от постоянного числа, т. е. не могут быть представлены в виде: