Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
3. Осциллятор с квадратичными членами [20]. Рассмотрим осциллятор, уравнение которого
d2x , a . dx , п (dx\а
т
dt2
-«+«¦-»s+^s;
содержит квадратичные члены в выражениях как для силы пружины, так и для силы трения. Это уравнение можно записать в виде следующих двух уравнений первого порядка г):
^ = У= P jt = - ах - by + a*2 + ^y2 = Q (х,у). (5.72)
Покажем, что такой осциллятор не может быть автоколебательной системой при любых значениях параметров (но b 0). Для этой цели воспользуемся критерием Дюлака, взяв за множитель В(х, у)
функцию В (х, у)=Ье'^х. Поскольку, как легко видеть, {BP) -[-
-f--^ (BQ) = - ?2<гаР*<0 при bjb 0, система (5.72) не имеет,
согласно критерию Дюлака, не только замкнутых фазовых траекторий, но и замкнутых контуров, составленных из различных фазовых траекторий, и, следовательно, не может быть автоколебательной.
4. Еще один пример неавтоколебательной системы [26]. Докажем, что система уравнений
х = х(ах + Ьу + с) = Р(х, у), 1
y=y(a'x + b'y + c') = Q(x,y),f
встречающаяся в ряде вопросов нелинейной теории колебаний3), также не имеет предельных циклов. Эта система имеет интегральными прямыми оси координат лг = 0 и _у = 0 и на них три состояния равновесия: (0, 0), fo,--^7J и f—~, о). Кроме того, если
') Не нарушая общности, можно полагать массу т = 1.
s) В частности, к этой системе приводит рассмотрение ряда задач об автоколебательных системах с двумя степенями свободы при помощи метода Ван-дер-Поля [112, 176, 177]. 364 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гл. ¦ V
8 =
а Ь а' V
не лежащее на осях координат и определяемое системой уравнений:
ф 0, имеется еще ОДНО состояние равновесия (-ХГо.-Уо),
ах-{-by-{-с= 0, а! X -{- Ь'у -}- с' = 0.
Поэтому, если бы система (5.73) имела замкнутую фазовую траекторию, то последняя должна была бы лежать в пределах одного квадранта, содержащего точку (дг0, _у0), не пересекая ни одной из указанных интегральных прямых, и охватывать состояние равновесия (jc0, _у0)'). Но это невозможно, в чем нетрудно убедиться, применив критерий Дюлака. Возьмем в качестве множителя В функцию В (х,у) = J^-У1, где k и h — некоторые (пока неопределенные) постоянные. Тогда
^7 (BP) +1 (BQ) = Xk^yh'1 {(a -{-ka + ha') х +
+ (kb -j- hb' + b')y + kc + he'}.
Взяв в качестве постоянных k і h решение системы уравнений ka ha' -L а = 0, kb -f- hb' -{-V = 0,
т. е.
(fl'-fl) „
о о
получим:
? (BP) + ? (BQ) = В (X, у) («'+ (*-*¦) ф о
в пределах каждого квадранта фазовой плоскости, если только о = Vc (а' — а) -{- ас' (b — V) ф 0.
Следовательно, согласно критерию Дюлака система (5.73) при о ф 0 не имеет замкнутых фазовых траекторий и, в частности, предельных циклов2).
Ясно, что при 8 = 0, когда состояния равновесия (х0, у0) не существует, нет и замкнутых фазовых траекторий.
2) Если же 5 = 0, то система уравнений (5.73) является консервативной, имея своим интегралом выражение
xkyh (ac'X + b'cy + Cf') = const;
вся область, заключенная между осями координат и прямой ac'x + b'cy -f- сс' = 0 (они являются интегральными прямыми), целиком заполнена замкнутыми фазовыми траекториями, охватывающими состояние равновесия (х0, у0), которое в этом случае является центром. § ГО] ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ 365
§ 10. Исследование поведения фазовых траекторий в удаленных
частях плоскости
При исследовании качественной картины фазовых траекторий в конкретных задачах весьма большую роль играет исследование поведения фазовых траекторий в достаточно удаленных частях фазовой плоскостиJ). Иногда этот вопрос решается весьма просто. Умножим первое уравнение системы (5.1) на х, второе на у и сложим. Мы получим тогда:
1 dr2
1--[r=P(x,y)x + Q (х,у)у = R (х,у).
Легко видеть, что если, начиная с некоторых значений хну, R(x, у) принимает определенный знак и сохраняет его, какие бы мы значения (достаточно большие по абсолютной величине) ни давали X и у, то ответ дается сразу. Именно, мы можем сразу сказать, что все достаточно большие круги с центром в начале координат служат циклами без прикосновения и что знак R(x, у) (для достаточно больших х, у) определяет, будет ли бесконечность устойчива или неустойчива. Однако, вообще говоря, такой элементарный прием не дает ответа [R (х,у) не сохраняет определенного знака], и вопрос требует специального исследования.
Таким образом возникает задача исследования хода фазовых траекторий в бесконечно удаленных частях плоскости. Кажется, что можно просто решить задачу, совершив замену переменных, которая перевела бы бесконечно удаленную часть плоскости в конечную. Этого, например, можно достичь с помощью преобразования Бендиксона:
_ и _ у _ X _ у .. 1йл
х~u2 + ®2; У и2 + г»2' и — X*+у*' v~x*-\-у*' V >
которое переводит бесконечно удаленные точки плоскости х,у в начало координат плоскости и, v. Геометрически это преобразование есть так называемое преобразование обратными радиусами (рис. 270).
Заметим, что здесь мы не коснемся ряда вопросов, представляющих интерес для общей теории, например вопроса о совместном существовании особых точек различных типов на сфере Пуанкаре, вопроса об изображении траекторий на проективной плоскости и т. д. 366
