Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
нас точки зрения такая кривая принципиально ничем не отличается от цикла без контакта, поэтому такие замкнутые кривые с отдельными точками соприкосновения четного порядка мы будем также включать в класс циклов без контакта.
Если внутри такого цикла без прикосновения нет устойчивых особых точек и вектор скорости на нем везде направлен внутрь, то мы можем сказать, что существует по крайней мере один устойчивый предельный цикл, заключенный внутри нашего цикла без прикосновения. Точно так же, если бесконечность неустойчива и существует цикл без прикосновений, на котором вектор скорости направлен везде наружу и вне которого нет устойчивых особых точек, то существует по крайней мере один устойчивый предельный цикл, расположенный в области, лежащей вне цикла без прикосновений. Аналогичные рассуждения можно привести для исследования неустойчивых предельных циклов, только в этом случае нужно рассматривать противоположное направление вектора скорости ').
') Эти утверждения, а также утверждения, которые будут приведены ниже, геометрически достаточно очевидны. Строгое доказательство этих утверждений основано на общей теории поведения фазовых траекторий (см. гл. VI). § 11] ОЦЕНКА МЕСТОРАСПОЛОЖЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ
375
Если при помощи двух циклов без контакта удается выделить на фазовой плоскости кольцеобразную (двусвязную) область, не содержащую внутри себя состояний равновесия, то можно сделать определенные заключения о существовании в ней предельных циклов. Именно, если вектор скорости изображающей точки на этих циклах без контакта направлен внутрь кольцеобразной области, заключенной между ними, точнее, нигде не направлен наружу, то в этой кольцеобразной области существует по крайней мере один устойчивый предельный цикл (вообще же существует нечетное число предельных циклов, из них устойчивых на один больше, чем неустойчивых). Если вектор скорости на обоих циклах без контакта везде направлен наружу (или, точнее, нигде не направлен внутрь), то существует по крайней мере один неустойчивый предельный цикл, заключенный в этой кольцеобразной области (в общем случае в этой области имеется нечетное число предельных циклов, из которых неустойчивых циклов на один больше, чем устойчивых). Если же, наконец, вектор скорости изображающей точки на одном цикле без контакта направлен всюду вне, а на другом — всюду внутрь кольцеобразной области, ограниченной ими, то в этой области предельных циклов либо нет совсем, либо имеется четное число (из них половина устойчивых) *).
Число предельных циклов в таких кольцеобразных областях, конечно, не определяется соображениями, приведенными выше. В некоторых случаях удается доказать единственность (или отсутствие) предельного цикла в данной кольцеобразной области, пользуясь критерием Дюлака для кольцеобразной области [148]: динамическая система (5.1) не может иметь более одной замкнутой фазовой траектории (или более одного замкнутого контура, составленного из траекторий) в кольцеобразной области (G), если в этой области выражение
где В(х,у) — некоторая функция, непрерывная и с непрерывными производными (первого порядка) в области (G), знакоопределенно. Здесь речь идет о фазовых траекториях, содержащих внутри себя внутреннюю границу кольцевой области. Ясно, что в области (G) не может быть замкнутых фазовых траекторий, которые непрерывной деформацией могли бы быть стянуты в точку без выхода за пределы области (G). Таких траекторий не может быть в силу критерия Дюлака, доказанного ранее в § 9.
Для доказательства критерия допустим, что система (5.1) имеет в кольцеобразной области (G) две замкнутые фазовые траектории
') Доказательство этих утверждений приведено в гл. VI, § 2 (см. теорему V). 376
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
(или два замкнутых контура, составленных из траекторий) abca и axbxcxax, содержащих внутри себя внутреннюю границу области (G) (рис. 277). Тогда для замкнутого контура abcaaxcxbxaxa
(j) В (Р dy — Q dx) = 0. Но согласно
теореме Грина (j) В (Pdy—Q dx)=
где
(S)
интегрирование ведется по области (?), заключенной между замкнутыми кривыми abca и ахЬхсхах. Таким образом,
интеграл J J [A (BP) + A (?Q)] dxdy (S)
должеА равняться нулю, что противоречит знакопостоянству подинтеграль-ного выражения в области (?]), которая является частью области (G). Следовательно, в области (G) не может быть более одной замкнутой фазовой траектории системы (5.1). Очевидно, критерий сохраняет
силу и в тех случаях, когда выражение (BP) (BQ) знакопостоянно в области (G) всюду, кроме некоторых точек или кривых, где оно обращается в нуль.
Как мы уже говорили, общих, регулярных методов для отыскания циклов без контакта не существует. В некоторых задачах удается найти такие циклы без контакта среди кривых, принадлежащих к заданному семейству простых замкнутых кривых (например, среди окружностей с центром в начале координат). Пусть
F(*,j/) = C (5.86)
— уравнение семейства простых замкнутых кривых, сплошь заполняющих фазовую плоскость, среди которых мы намереваемся искать циклы без контакта для динамической системы
