Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Iii=QI*'у)- (5.1)
Будем полагать, что каждой кривой семейства (5.86) (это семейство кривых часто называют, следуя Пуанкаре, топографической системой кривых) соответствует единственное С и что кривая с заданным С содержит внутри себя все кривые с меньшими С (таким образом, при увеличении С «размеры» кривых (5.86) увеличиваются). При движении изображающей точки по некоторой фазовой траектории она будет пересекать кривые топографической системы (5.86). При§ 11] ОЦЕНКА МЕСТОРАСПОЛОЖЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ
377
таком движении, очевидно,
= Fx (X, у) P (X, у) + Fy (X, у) Q (X, у) = Ф (х, у),
и циклами без контакта являются все кривые топографической системы, на которых функция Ф(лг, _у) знакоопределенна. Именно, если на некоторой кривой топографической системы Ф(л:,_у)=^0, то эта кривая является циклом без контакта, причем в силу нашего предположения об увеличении «размеров» кривых при увеличении С все
фазовые траектории, пересекающие эту кривую, идут (при увеличении t) в область, лежащую внутри нее (рис. 278). Точно также, если на некоторой кривой семейства (5.86) Ф (х,у) 0, то фазовые траектории пересекают эту кривую, выходя в область вне ее. Ясно также, что в кольцеобразных областях, в которых функция Ф (х,у) знакопостоянна, предельных циклов (и вообще замкнутых фазовых траекторий) быть не может. Предельные циклы могут существовать только в тех кольцеобразных областях, в которых функция Ф(л:,_у) знакопеременна.
Несколько иной формой того же метода отыскания кривых без контакта является так называемый метод контактной кривой, принадлежащий Пуанкаре [181, 108]. Контактной кривой Пуанкаре называют ту кривую, в точках которой фазовые траектории системы (5.1) касаются кривых заданной топографической системы (5.86). Ее уравнением, очевидно, является
или PFx -f- QF'y = 0. Если топографическая система выбрана так, что кривая контактов замкнутая, то мы можем провести наибольшую и на№ меньшую кривые топографической системы, касающиеся контактной
Рис. 278.
t = — ^ Q Fx378
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
кривой. Тогда все кривые топографической системы, лежащие вне такой наибольшей кривой и внутри наименьшей кривой, являются циклами без контакта и предельные циклы, если они существуют, расположены в кольцеобразной области, ограниченной этими двумя кривыми топографической системы и содержащей контактную кривую.
Для иллюстрации сказанного выше рассмотрим два примера качественного исследования динамических систем. В качестве первого примера рассмотрим уравнения:
ft=*' Tt=~ Zc — Zc[RC — MS (">>' (5-84)
описывающие колебания лампового генератора при обычных упрощающих предположениях, причем будем полагать, что крутизна характеристики лампы S(ii) является функцией четной и монотонно убывающей при увеличении I и |. Возьмем в качестве топографической системы семейство эллипсов CL -у2 н2 = А2, тогда
1 гі(Л2)
dt
VHS (и) — RC^y2 = Ф (н, у).
Если VkIS(0)<^RC (условия самовозбуждения генератора не выполнены), то на всей фазовой плоскости Ф (н,_у) =? 0 и, следовательно, ^ =? 0, т. е. все фазовые траектории приближаются к
началу координат — устойчивому состоянию равновесия. Если же то единственное состояние равновесия (0,0) неустойчиво, и, кроме того, существует такой отрезок I U | ^U0, на котором TkfS(H)—RC^ 0. Поэтому все эллипсы с A ^u0 являются циклами без контакта, так как на них Ф(и,у)^0; фазовые траектории пересекают их, выходя в область, лежащую вне эллипса LCyi и8 = и\. Следовательно, в области внутри этого эллипса нет предельных циклов '). По крайней мере один устойчивый предельный цикл лежит вне эллипса LCy2 -)- H2 = Hjj, ибо там нет состояний равновесия и бесконечность, как мы видели (в предположении, что 5 (и) -*¦ 0 при н —> оо), неустойчива.
В качестве второго примера мы дадим полное качественное исследование динамической системы [19]:
? = « + *,-лг<*+Л 1 g = MT+ Or-.у (*' + />, j
к которой приводится задача о синхронизации лампового генератора при решении ее методом Ван-дер-Поля [190, 7].
Прежде всего фазовый портрет симметричен относительно начала координат, так как уравнения (5.87) инвариантны относительно замены
') Отсутствие предельных циклов внутри эллипса LCys -\-иг = и% при AfS(O) > RC и на всей фазовой плоскости при MS(O) < RC, как нетрудно видеть, вытекает и из критерия Бендиксона.§ 11] оценка месторасположения предельных циклов 379
переменных х,у на —дг, — у. Далее, уравнение интегральных кривых
dy_сх dy — у (X2 + >>2),
dx ах -\-by — X (xs _у2)
которое получается в результате деления второго из уравнений (5.87) на первое, имеет своими интегральными кривыми прямые у = IiiX и у =ItiX, где A1, A2— корни квадратного уравнения Ь№-\-(а—d)k — — с=0, т. е.
, _d— a ±y(a — dy + 4bc
*ы — §Ь
(конечно, при условии, что дискриминант уравнения 8 = (а — fiOa-f-+ Abc^>Q). Из уравнений (5.87) также следует, что бесконечность абсолютно неустойчива, т. е. что изображающая точка в далеких частях фазовой плоскости (при возрастании t) движется по направлению к началу координат. В этом легко убедиться, заметив, что