Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
І Tt + У) = + + с) ху + dy9 - (х' +y*Y < О
при достаточно больших Xі 4~.Уа-
Состояниям равновесия системы соответствуют особые точки на фазовой плоскости — точки, удовлетворяющие уравнениям:
ах+ by — X (дг2 4~_У2) = 0 , cx + dy—y{x^+y%) = Q. Корнями этой системы уравнений являются дг=0, у=0 и Га + bk\,2 fa + bk i,2
х^=±у т+жу V ттат«"
Таким образом, в конечной части плоскости х,у может быть в зависимости от параметров уравнений (5.87) одно, или три, или пять состояний равновесия. Состояние равновесия (0, 0) существует всегда, и его характер определяется коэффициентами
а = — (a -j- d) и Д = ad —be
характеристического уравнения V2 + а\ Д = 0 (заметим, что дискриминантом последнего является выражение о, введенное ранее). Другие состояния равновесия, если они существуют, лежат на интегральных прямых У = IiiX и у =IiiX и поэтому могут быть только узлами или седлами').
') Числители a bk^ 2 в подкоренных выражениях для координат особых точек, лежащих вне начала координат, как нетрудно видеть, являются корнями характеристического уравнения X2 + ак Д = 0. Поэтому особых точек вне начала координат не существует, если точка (0, 0) является фокусом или устойчивым узлом; вне начала координат имеются две особые точки, если (0, 0) — седло (уравнение X2 +- ак Д = 0 имеет только один положительный корень); если же точка (0, 0) — неустойчивый узел, то вне начала координат имеются четыре особые точки. 380
динамические системы второго порядка
[гл. ¦ v § 11] оценка месторасположения предельных циклов 381
Очевидно, возможны следующие случаи:
I. 8^>0, Д^>0, о<^0. В этом случае на фазовой плоскости (рис. 279, Г) имеются пять особых точек (состояний равновесия): (0,0) — неустойчивый узел и вне начала координат — два седла и два устойчивых узла. Предельных циклов нет, поскольку через все особые точки проходят интегральные прямые, простирающиеся в бесконечность. Для доказательства сделанных выше утверждений относительно характера особых точек, лежащих вне начала координат, достаточно вспомнить, что бесконечность абсолютно неустойчива и, следовательно, сумма индексов Пуанкаре для всех особых точек равна -j-1. Поэтому четыре особых точки вне начала координат не могут быть все седлами или узлами, две из них являются седлами и две — узлами, причем последние — обязательно устойчивые узлы в силу неустойчивости бесконечности.
II. 8^>0, Д <^0. Теперь (рис. 279, //) начало координат — седло, а вне начала координат имеются два устойчивых узла. Предельных циклов по-прежнему нет (доказательство этих утверждений полностью аналогично проведенному выше).
III. 8>0, Д>0, о>0. На фазовой плоскости (рис. 279, III) имеется единственное состояние равновесия — устойчивый узел (0,0), к которому асимптотически приближаются все фазовые траектории. Через узел проходят две интегральные прямые y = kxx и y = k%x, поэтому предельных циклов не существует.
IV. 8<^0, о^>0. Единственным состоянием равновесия является устойчивый фокус (0, 0). Предельных циклов, как мы покажем ниже, не существует, поэтому (рис. 279, IV), как и в предыдущем случае, все траектории приближаются (при к началу координат.
V. 8 0, о<^0. В этом случае единственное состояние равновесия — начало координат — является неустойчивым фокусом; так как бесконечность неустойчива, то на фазовой плоскости имеется по крайней мере один устойчивый предельный цикл. Покажем, пользуясь критерием Дюлака, что при 8 0 на фазовой плоскости не может быть более одного предельного цикла (тем самым мы докажем и отсутствие предельных циклов в предыдущем случае, так как если бы предельные циклы в случае IV существовали, то их было бы обязательно четное число). Возьмем в качестве множителя В(х,у) функцию
В(х, У) = byS _ CX2 (а _ ф ху,
которая в силу условия 8= (а — d)'2 —|— 0 всюду, кроме нача-
ла координат, непрерывна вместе со своими производными и, следовательно, знакоопределенна. Тогда, если обозначить через Р(х, у) и Q (.V, у) правые части уравнения (5.87), имеем:
к + Ж, = -2(*2 +/) в (X, уу, 382
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
это выражение не меняет знака в кольцеобразной области, которая получается из фазовой плоскости исключением сколь угодно малой окрестности начала координат. Таким образом, в рассматриваемом случае предельный цикл один, и разбиение фазовой плоскости на фазовые траектории имеет вид, изображенный на рис. 279, V (все фазовые траектории асимптотически при /->со приближаются к этому предельному циклу).
Для определения границ, в которых расположен предельный цикл в случае V, возьмем в качестве топографической системы семейство окружностей
л:* -\-у* = R\
Как мы уже видели,
і = о** + (И- с) ху + df - (X2 + /)« или в полярных координатах
T T = ¦T [а + d +(а - d) cos +{b +с) sin ~ Rl-Нетрудно видеть, что
Rl^ а -[- d -f (а — d) cos 2 a -U (b -f с) sin 2<р Rl
где
Rl
Rl-
a+d + Yia—d)2 + (Ь + с)2
Поэтому при (а -(- df (а — df -[- (b -f- с)а (или, что то же самое, при 4ad^>(b -f-c)a) циклами без контакта являются все окружности
