Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
U+ VRf(U)-E = Q,
в силу указанных выше свойств функции f(u), всегда имеет одно и только одно решение, соответствующее единственной точке пересе-
?_ ц
чения кривой y=f(u) и прямой у= . Кроме этого «симметричного» состояния равновесия схема может иметь и другие, не лежащие на интегральной прямой U1 = Ui, но попарно ей симметричные (если точка (а,Ь) является состоянием равновесия, то состоянием равновесия будет и точка (Ь,а))\ таким образом, общее число состояний 350
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
равновесия всегда нечетное. Для отыскания состояний равновесия нужно построить кривые (5.63а) и (5.636) и найти их точки пересечения. Такое построение дано на рис. 258, а — для случая $Rf'(U)<C 1> когда имеется только одно («симметричное») состояние равновесия, и на рис. 258, <5 — для случая $Rf'(U)^> Ь когда имеются три состоя-
CV 6]
Рис. 258.
Перейдем теперь к исследованию устойчивости состояний равновесия. Для этого составим уравнение первого приближения для малых отклонений состояния равновесия (ll\, м2). Положим
m1 = m2 = и\ + ti;
тогда, как нетрудно убедиться, уравнения первого приближения имеют вид:
а характеристические показатели X определяются уравнением C0RX+ 1 ?R/' (и\) PR/' (м?) C0RX+1
откуда
C0RXli2 = - 1 ± pR /7Ч»П/' «)¦
') Если $ Rf'(U) близко к единице, а крутизна характеристики ламп /' (и) в «симметричном» состоянии равновесия не максимальна, то рассматриваемая система может, вообще говоря, иметь и более трех состояний равновесия. При [iRf (U) <. 1 их число может быть равно 5, 9, 13, ... , а при $Rf (U) > 1—• 7, 11, ... в зависимости от вида характеристики/(«) на участке от U = U до точки максимальной крутизны. Ниже мы будем рассматривать только наиболее интересные для практики случаи одного и трех состояний равновесия. § 9] системы без замкнутых траекторий
351
Принимая во внимание, что —QRf(uT) есть тангенс угла наклона
касательной кривой (5.63а) и —0 1 , — тангенс угла наклона ка-
PKf (,M2)
сательной кривой (5.636), получаем, что «симметричное» состояние равновесия устойчиво (устойчивый узел) при QRf (U) I и неустойчиво (седло) при QRf' (U) 1. Следовательно, это состояние равновесия устойчиво, если оно единственно, и неустойчиво, если состояний равновесия три; остальные два состояния равновесия в последнем случае всегда устойчивы (они являются устойчивыми узлами).
Далее, если обозначить через P(m11h2) и Q(m11m2) правые части уравнений (5.61), то
OUi ди2 ^
на всей фазовой плоскости, и поэтому, согласно критерию Бендиксона, рассматриваемая система не допускает существования замкнутых контуров, составленных из фазовых траекторий, и, тем более, замкнутых фазовых траекторий. Нетрудно также видеть, что из бесконечности все фазовые траектории направлены внутрь; в самом деле, из уравнений (5.61) следует, что выражение
± C,R ± (мі + и|) = - К + К) - QR [«,/(и,) + H4Z(H1)] + ?(? + »,)
при достаточно больших m1 или m2 всегда отрицательно; иначе говоря, окружность ul~\- til = Ai достаточно большого радиуса А является циклом без контакта, причем все фазовые траектории входят внутрь круга, ограниченного этой окружностью.
Этих сведений достаточно для разбиения фазовой плоскости на фазовые траектории. Это разбиение схематически изображено на рис. 259, а (для QRf(U)<^\) и на рис. 259,6 (для QRf (U) > 1).
Рассмотрим теперь процесс переброса триггера из одного состояния равновесия в другое при подаче на одну из ламп импульса напряжения. Пусть QRf (U)^> 1 и триггер в начале работы находится в состоянии равновесия, соответствующем узлу на фазовой плоскости, когда лампа Jl1 заперта, а лампа Jli отперта. Пусть на лампу Jl1 подается короткий импульс напряжения, отпирающий ее (например, отрицательный импульс на катодное сопротивление этой лампы; см. рис. 256). Уравнения схемы при наличии добавочного напряжения е (t), подведенного к лампе Jl1, имеют вид:
CoRd-^ = -U1-QRf (щ)-\-Е,
du (5-64)
coR S ==-">-W [»! + *(')]+?•
Считая импульс прямоугольным, с плоской вершиной (рис. 260), мы можем во время действия импульса (при рассматривать
нашу систему как автономную и построить ее фазовый портрет на фазовой плоскости MljH2 (он, конечно, будет отличаться от портрета, 352
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
построенного нами ранее для е = 0). По-прежнему каждое движение приводит систему в одно из устойчивых состояний равновесия
(устойчивые состояния равновесия — опять узлы). Состояния равновесия теперь определяются как точки пересечения кривых
И»+ P'VCi jTe)-Е==0 и «! + ??/(«*) — ? = о, § 9] СИСТЕМЫ БЕЗ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ
353
eit)
первая из которых получается из кривой (5.63а) сдвигом влево на е (мы считаем, что е^>0), а вторая совпадает с кривой (5.636).
Пусть амплитуда импульса е настолько велика, что во время действия импульса триггер имеет одно состояние равновесия У (оно будет устойчивым узлом) слева от биссектрисы (рис. 261). Будем считать крутизны переднего и заднего фронтов импульса настолько большими, что за время их прохода состояние системы не успевает заметно измеииться (емкости схемы не успевают заметно изменить заряды). Тогда непосредственно после прохода переднего фронта импульса (при ^ = O) состояние системы будет изображаться на фазовой плоскости _ (рис. 261) точкой Yv которая до прихода импульса была устойчивым узлом, но во время действия импульса
