Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
359
любых начальных условиях в системе устанавливается один из режимов работы машин, при котором они работают друг на друга (одна — генератором, другая — мотором), а ток во внешней цепи равен нулю.
III. r + 2tf<p, г О'(а). Так как r + 2tf<p, то <р'(0)> + 1 и кривая (5.67а) сначала (при малых Z1) идет в квадранте Ki, затем при Zj = а переходит в AT1 и, наконец, при Z1 = b — в AT2 (рис. 266, Hf). Соответственно кривая (5.676) лежит в K1 только при 0 ^ Z2 =? а и при Zs — Ь. Будем полагать функцию ф (О такой, что эти кривые Рис. 267. § 9] СИСТЕМЫ БЕЗ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ 361
не пересекаются внутри квадранта K1 (именно этот случай и изображен на рис. 266,///), это вполне может быть, поскольку ср '(а) =
'У (а) — (г + Я) ^ , -г , н ,
=--д-— 1. Iorда на фазовой плоскости мы будем иметь
пять состояний равновесия: неустойчивый узел О, два седла А и A1 и два устойчивых узла В и B1 (рис. 267, III)'). Режим работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь и невозбужденный режим обеих машин оказались неустойчивыми, и в системе при любых начальных условиях опять установится один из режимов работы машин самих на себя.
IV. r-)-2R<^p, (а). В отличие от предыдущего случая
здесь ср'(а)<^—1 и кривые (5.67а) и (5.676) пересекаются внутри квадранта K1 по крайней мере в одной точке. Ниже мы будем рассматривать только тот случай, когда эта точка пересечения единственна (точка С (с', с") на рис. 266, IV)2), а на фазовой плоскости (рис. 267, IV) имеются девять состояний равновесия: неустойчивый узел О, четыре устойчивых узла A, A1, В, B1 и четыре С-точки: С (с', с"), C1 (с", с'), C2 (— с', —с") и C3 (— с", — с'). На основании теории индексов Пуанкаре нетрудно убедиться, что это — седла. В самом деле, сумма индексов Пуанкаре для всех состояний равновесия, как мы уже видели, равна -)- 1; известные нам пять состояний равновесия на интегральных прямых Z2 = Z1 и Z2 = — Z1 (точки О, A, A1, В, Bi) суть узлы, и сумма их индексов равна -)- 5, следовательно, сумма индексов четырех С-точек должна равняться — 4, т. е. С-точки должны быть седлами. Устойчивым стационарным режимам работы машин соответствуют устойчивые узлы A, A1, В, B1, т. е. устойчивыми будут и режим правильной работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь и режим работы одной машины на другую. Установление того или иного режима зависит от начальных условий; если начальное состояние системы соответствует какой-либо точке области, ограниченной сепаратрисами (усами седел С) и заштрихованной на рис. 267, IV, то установится режим работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь.
') Сделанных выше предположений относительно вида функции ф (0 недостаточно для доказательства отсутствия точек пересечения кривых (5.67а) и (5.676) внутри квадранта Ki- Вообще говоря, при г<.'У(а) в зависимости от вида функции ^ (I) может быть любое, но обязательно четное число таких точек пересечения, а на фазовой плоскости — 5, 13, 21 и т. д. состояний равновесия, из которых 3, 7, 11, ... будут узлами, а остальные — седлами, так как сумма индексов Пуанкаре для всех состояний равновесия равна —1.
Заметим, что теперь на фазовой плоскости имеются замкнутые контуры, составленные из фазовых траекторий (например, контур ABA1B1A на рис. 267, ///), но по-прежнему нет замкнутых фазовых траекторий.
8) Вообще говоря, при г > <\і' (а) в зависимости от вида функции ^(i") может быть любое нечетное число точек пересечения кривых (5.67а) и (5.676) внутри квадранта Ki, а на фазовой плоскости — 9, 17, 25 и т. д. состояний равновесия. 362
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
На рис. 268 приведены бифуркационные кривые, разбивающие плоскость параметров системы г и R (или, точнее, первый квадрант этой плоскости) на области, каждая из которых соответствует определенному типу фазового портрета системы (нумерация областей совпадает с нумерацией частей рис. 267, на которых изображены типы фазовых портретов системы). Бифуркационными кривыми будут: 1) прямая г = р, которая отделяет режим / от режима //; 2) прямая г -)— IR = р, отделяющая область Il от области ///, и 3) кривая г=ф'(а), где а определяется уравнением (5.69), — граница области IV, в которой правильный режим работы машин (с отдачей мощности во внешнюю цепь) устойчив. Уравнение последней бифуркационной кривой может быть записано в параметрической форме:
r = f(a), A = Ip^--K (а)],
где а — параметр, пробегающий значения от 0 до -[- оо. Нетрудно видеть, что эта кривая проходит через точки г = р, R = 0 (при а = 0) и г = R = 0 (при а -»- -)- оо) и лежит под прямой г -\-2R = p.
Рис. 268.
R
-jWNr-Рис. 269.
Итак, мы видим, что параллельное включение динамомашин последовательного возбуждения на общую нагрузку, выполненное по § 9] СИСТЕМЫ БЕЗ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ
363
схеме, приведенной на рис. 263, нельзя признать правильным, ибо оно допускает устойчивую работу машин самих на себя, а режим работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь устойчив только в ограниченной области параметров (в области IV на рис. 268), в которой существует и устойчив также и режим работы машин самих на себя. Этих недостатков лишена схема перекрестного включения обмоток возбуждения машин, когда обмотка возбуждения одной машины включается последовательно с якорем другой (рис. 269). В этом случае, как легко убедиться (чтб мы предоставляем читателям), режим работы машин самих на себя как стационарный совсем не существует, а режимы работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь существуют при г -\-2R<^p и устойчивы.
