Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Условие устойчивости неподвижной точки S* точечного преобразования, выражаемого функцией последования s=f(s), а следовательно, и условие устойчивости соответствующего предельного цикла дается теоремой кенигса [168, 169]'):
неподвижная точка s* точечного преобразования s = /(s) устойчива, если
ds <1, (5.53а)
и неустойчива, если
(> 1. (5.536)
Для доказательства теоремы Кенигса перенесем прежде всего начало отсчета координат точек отрезка L в неподвижную точку s* и введем
S = S — S*, S = s — s*
(неподвижной точкой будет S = O). Тогда последовательности точек s, S1, S2,..., sn, s„+1,..., в которой каждая последующая точка получается из предыдущей применением функции последования, будет соответствовать последовательность положительных чисел:
14. ы. \и\..... IU IUI..--.
где En = Sn-S*.
ds <^1, то на отрезке L существует такая окре-
Если
d S
= і»
стность неподвижной точки А (рис. 248, а), для всех точек
') Мы даем общую формулировку теоремы Кенигса, пригодную и для ds
случая, когда ^ < 0, что может иметь место для динамических систем (5.1)
с неаналитическими правыми частями или с фазовой поверхностью, отличной от обычной плоскости. 334
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
которой, кроме ? = 0,
|Ё|<а|?|, (5.54)
где а — некоторое число, положительное, но меньшее единицы. Поэтому каждая последовательность положительных чисел
I ? |> I l> I ^s 1> • • •
при условии, что I ? I sg; А, является монотонно убывающей и ограниченной снизу и, следовательно, в силу известной теоремы о сходимости таких числовых последовательностей, сходится к некоторому пределу, который, однако, не может быть отличным от нуля Таким
Рис. 248.
образом, при выполнении условия (5.53а) любая последовательность точек s, Su Siy... с начальными точками в окрестности: s* — A =? 5s* -(- А сходится к s* и, следовательно, неподвижная точка s* устойчива.
Если же выполнено условие (5.536), то существует такая окрестность IE15?В, для точек которой (рис. 248,6). Поэтому любая последовательность чисел 151, (при условии, что j \ I =? В) заведомо не может сходиться к пределу E = 0, а последовательности s, su S2,... (с начальными точками s* — A =?5 =?s* -(- А) не могут сходиться к S*. Следовательно, в этом случае неподвижная
') В самом деле, если бы этот предел был отличен от нуля и равнялся а (а > 0), то тогда при всех п | Sra | > а > 0 и в силу условия (5.54)
I е» I -1 Є»+1І > (-І -1) I ея+11 > 1) в,
что противоречит критерию Коши для предела числовой последовательности. § 7] точечные преобразования и предельные циклы
335
точка будет неустойчивой. Тем самым мы доказали теорему Кенигса'). Заметим, что эта теорема не решает вопроса об устойчивости непо-
= 1 (в этом случае требуется дополни-
движной точки, если
d S
тельное исследование, так как устойчивость определяется знаками старших производных функции последования).
3. Условие устойчивости предельного цикла. Найдем теперь, основываясь на теореме Кенигса, условие устойчивости предельного цикла на фазовой плоскости, выраженное через правые части уравнений динамической системы:
§ = Р(Х, У), % = Q(X, у). (5.1)
Пусть C0 — предельныйцикл системы (5.1), параметрическими уравнениями которого являются
X=Cр (0, J/= <]>(*)
(ср и ф — периодические функции с периодом Т).
Введем в окрестности этого предельного цикла новую, криволинейную систему координат и, v (рис. 249), полагая
(5.55) _
jc = ср (гг) — V'Y (гг), У = Ф (к) + ftp' (гг). Прямые гг = Const являются нормалями к предельному циклу, а кривые
w = const — замкнутыми кривыми (кривая г» = O совпадает с предельным циклом C0). Якобиан рассматриваемого преобразования координат
Линии U=COnst — Линии V=Const
Рис. 249.
D-.
д (х, у)
д (и, V)
ср' (и) — V 'У (и) — у (и) <V (и) +о ср" (и) ср'(и)
= ?Ч + ф'2 + V " — > О
при всех и и достаточно малых v (в силу того обстоятельства, что ни в одной точке предельного цикла ср'2-4-<]/2 не обращается в нуль, мы можем выбрать такие положительные числа а я А, чтобы при любых и ср"г -)- (J)"2 а и при I V | А якобиан D 0). Поэтому в кольцевой области, ограниченной замкнутыми кривыми v = — A
1J Напомним, что для точечных преобразований отрезка L, осуществляемых фазовыми траекториями динамических систем (5.1) с аналитическими
ds
правыми частями и плоской фазовой поверхностью, ^ = /' (s) > 0. Поэтому
условием устойчивости неподвижной точки для них (или условием устойчивости соответствующего предельного цикла) будет неравенство /' (S0) > 1 и условием неустойчивости — неравенство f (S0) <1. 336
динамические системы второго порядка
[гл. ¦ v
и V = А и содержащей в себе предельный цикл C0, не могут пересекаться между собой ни отрезки нормалей и = Const, ни замкнутые кривые ^ = COnst и каждой точке плоскости (в этой области) соответствует единственная пара чисел — криволинейных координат (к, d).
Перейдем в уравнениях (5.1) в кольцевой области | г» j =? Л к но-вым переменным и и v. Мы будем иметь:
