Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для иллюстрации сказанного выше мы рассмотрим несколько физических систем, которые отображаются динамическими моделями без замкнутых фазовых траекторий.
1. Симметричное ламповое реле (триггер). В качестве первого примера мы рассмотрим работу симметричного лампового реле или
Здесь также допустимо, чтобы ^ (BP) + ^ (BQ) обращалось в нуль
в отдельных точках или на каких-либо кривых в этой области. Далее, очевидно, что критерий Бендиксона можно рассматривать как частный случай критерия Дюлака. § 9]
СИСТЕМЫ БЕЗ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ
347
триггера, схема которого приведена на рис. 254 (емкости Ca и Ca изображают малые, паразитные емкости схемы). Эта схема при определенных условиях имеет два устойчивых состояния равновесия и может быть переброшена из одного состояния равновесия в другое подачей соответствующего импульса напряжения в подходящий узел схемы. Она находит себе довольно широкое применение в ряде радиотехнических устройств (например, в катодных осциллографах в качестве устройства, запускающего так называемую «ждущую» развертку электронного луча по оси времени при приходе на вход осциллографа одиночного импульса напряжения), в счетчиках электрических импульсов, а также в современных электронных цифровых математических машинах.
триггера (рис. 255), которая в предположении, что сеточные токи отсутствуют и что CR1 = CgR2. Тогда коэффициент передачи ? делителей напряжения, передающих колебания анодных напряжений на сетки ламп, получается постоянным и не зависящим от формы колебаний анодных напряжений '):
It1-Eg==V(Uai-Eg),
Ui-Eg=V(Ual-Eg),(5.60)
где B= т5 г, , а эквива-
Д1ТЛ!
лентные емкости анодных CC
узлов (емкости C0 на рис. 255) равны C0 = Ca -J- с . Эта упрощенная схема, как мы увидим, описывается двумя уравнениями первого
1J Строго говоря, уравнения делителей напряжений являются дифференциальными. Например, для делителя, передающего колебания напряжения на аноде левой лампы на сетку правой (рис. 254):
¦ rd (иа1 — и2) , иа1 — Us _п du2 U2-Eg
Рис. 254.
Мы рассмотрим упрощенную схему получается из полной схемы (рис. 254) 348
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
порядка (в то время как полная схема (рис. 254) при CRi ^ CgRi — системой уравнений четвертого порядка) и позволит нам рассмотреть работу триггера как реле, перебрасываемого из одного состояния равновесия в другое подачей импульса напряжения в несимметричную точку схемы
связей на управляющую сетку лампы, этот импульс подают на другую сетку лампы (например, на пенгодную, если в схеме использованы пентоды) или на небольшое сопротивление, включенное в цепь катода (рис. 256)). Для этой схемы (в обозначениях рис. 255) имеем следующие уравнения:
/-> dUqi і ; і цаі Fs і Uaі Ea_„
+ ^ + + Ra —u'
ґduaz I , і Ида-Es I Цдз Ea _ -
+ Ri + RT^ Ra Далее, пренебрегая анодной реакцией, будем считать, что анодный ток каждой из ламп является функцией только напряжения на ее
где і—ток через делитель, откуда
RiR^ /п J- Г \ du^ J-,г _ RiRs г dUqi I Rs /„ р і і р
Ri + Ra {С + 6*> H + ";1 - RTTRl 6 ~5Г+ ЯТ+Ж{Ual ~ Eg) + Ег
Однако если CR1 = CgRs, то это уравнение имеет при любых иа1 общим решением
__
Uz = Eg+RiR^R^(ual-Eg)+Ae c^
и, следовательно, по истечении достаточно большого промежутка времени после включения схемы (при t CR1) будет иметь место второе соотношение (5.60), какие бы переменные иа1 ни были. Ток, потребляемый делителем, как
CC (г dUn\ і Uni — Err нетрудно подсчитать, равен г =-f- + —т—ff', поэтому мы можем
С Ctr ut hi *Т" Rs
заменить PC-делитель (при условии, что CR1 = CsR.>) делителем, состоящим
CC
только из сопротивлений R1 и Ri, зашунтированных емкостью ^—g -
С+ Lg § 9] СИСТЕМЫ БЕЗ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ
349
сетке, т. е. что 'Ial=Z(Ul) и Iai= f(Ui). Относительно характеристики лами ia=f(u) предположим, что она имеет вид, изображенный на рис. 257, т. е. обладает следующими свойствами:
1) ток является монотонно возрастающей функцией напряжения на сетке, т. е. f'(и) ^ 0, причем 0=?/(и) </s, где Is— ток насыщения лампы;
2) крутизна характеристики /' (и) имеет единственный максимум и монотонно спадает до нуля при удалении от этого максимума в обе стороны.
Вводя в написанные выше уравнения колебаний характеристику ламп, а также используя (5.60), можно привести эти уравнения к виду:
C0Rdft =-ih-mi"*)-V Е,
du
CoRif = -U2-VRf(Ih)jTE,
где
р_ Rn (Ri ~Ь Ra) р_р io (р _р \_ R^Ea (Ri ~Ь Ra) Eg
К~ Rg +Ri + Rs ' " ~ Ri + Ri + Ra
или к одному уравнению первого порядка:
du2_ и» + PRf(Ul)- E
duі U1+№/(иг) —E- к >
Состояния равновесия схемы определяются, очевидно, уравнениями:
Ut +^Rf {Щ) — E=Q, (5.63а)
UlJrVRf(Ui)-E=O. (5.636)
и могут рассматриваться как точки пересечения кривых (5.63а) и (5.636) на фазовой плоскости (заметим, что первая из них является изоклиной горизонтальных касательных, а вторая — изоклиной вертикальных касательных). Нетрудно видеть, что при любых значениях параметров существует «симметричное» состояние равновесия — состояние равновесия (U, U), лежащее на биссектрисе Ui = Uit которая, кстати сказать, является интегральной прямой уравнения (5.62). Действительно, уравнение, определяющее координаты этого состояния равновесия:
