Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 135

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 335 >> Следующая


Рис. 265. § 9] СИСТЕМЫ БЕЗ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ

357

чивые узлы) лишь при г^>'У(а) и неустойчивы (седла) при

Если р, то на другой биссектрисе Z2 =— Z1 существуют два состояния равновесия: B(b,— Ь) и B1 (—b, Ь). Эти «вредные» состояния равновесия (динамомашины работают одна на другую и ток через сопротивление R /=Z1-]-Z2 = 0) мы будем обозначать как ?-точки. Координата b 0), очевидно, определяется уравнением

<j> (b) — rb = 0, (5.70)

т. е. точкой пересечения кривой Z = ^(Z) и прямой z = ri (рис. 265). Для ?-точек: Ql = 2 [г -f- R — <]/ (?)] > 0, AZ.2 = [<J/ (b) — г] [<{/ (Ь) — — (r-]-2R)]^>0, так как Следовательно, ?-точки, если

они существуют, всегда являются устойчивыми узлами.

Посмотрим теперь, какие режимы могут иметь место в рассматриваемой нами системе. Для этого построим «галерею фазовых портретов» системы, считая характеристику машин неизменной, и взяв за параметры системы сопротивления г и R. Прежде всего, как это следует из уравнений (5.65),

IL-?(/! + «) =

= - R-(і, -f Z2)2 - г (Zf + Zi) + Z1^ (Z2) + ЭД (Z1) < 0

в точках окружности Zf -]- Z2 = const достаточно большого радиуса. Поэтому каждая такая окружность является циклом без контакта, причем все фазовые траектории идут из бесконечности в область внутри цикла без контакта (т. е. бесконечность абсолютно неустойчива). Отсюда, между прочим, следует, что сумма индексов Пуанкаре для всех состояний равновесия равна -f- 1.

Далее, в силу симметрии схемы и нечетности функции ^(Z) обе биссектрисы Z2 = Z1 и Z2 = — Z1 являются интегральными прямыми уравнения (5.66), а весь фазовый портрет симметричен относительно этих прямых; в частности, симметрично друг другу относительно них расположены и состояния равновесия '). Поэтому в дальнейшем мы можем ограничиться исследованием вида фазовых траекторий в одном квадранте фазовой плоскости, заключенном между этими интегральными прямыми (мы будем рассматривать их вид в квадранте Ki, содержащем положительную полуось OZ1).

Состояния равновесия, как мы уже указывали, являются точками пересечения кривых (5.67а) и (5.676)2), уравнения которых могут

') Следствием симметрии фазового портрета относительно прямых U = ii и (2= — Ii является также одно, общее для всех рассмотренных выше состояний равновесия свойство: все интегральные кривые уравнения (5.66) проходят через них по направлениям с угловыми коэффициентами /.1)2 = + I,

2) Заметим, что эти кривые являются изоклинами на фазовой плоскости: первая — изоклиной вертикальных, а вторая — изоклиной горизонтальных наклонов. 358

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

[гл. ¦ V

быть записаны в явной форме:

/я = ?(*і), (5.67а)

Z1 = Cp(Z2), (5-676)

где

= (5.71)

Эти кривые, конечно, симметричны друг другу относительно интегральных прямых Za = Z1 и Z2 =— Z1. Поэтому для отыскания состояний равновесия, лежащих в квадранте Ki (включая его границы), нам достаточно построить кривую (5.67а) для Z1^O и по ней как зеркальное отражение от прямых Za = Z1 и Za = — Z1 — кривую (5.676) (последнюю нужно строить только в пределах квадранта Ki). Такие построения кривых (5.67а) и (5.676) для различных значений параметров г и R даны на рис. 266 (там сплошной линией изображена кривая (5.67а) при Z1^O и пунктирной — ее зеркальные отражения от прямых Z2=Z1 и Z2 = —Z1 — кривая (5.676) в пределах квадранта Ki)-

I. r>р. В этом случае (рис. 266, /) ср"(0) = Р~~+ <—1

и кривая (5.67а) при Z1 ^>0 целиком лежит в квадранте Ara, а ее зеркальное отражение от прямой Za = — Z1 — кривая (5.676) — в Ki-Эти кривые нигде, кроме начала координат, не пересекаются, и на фазовой плоскости (рис. 267, I) имеется единственное состояние равновесия — устойчивый узел О. Поскольку других состояний равновесия нет, равно как нет и замкнутых фазовых траекторий*), то все фазовые траектории асимптотически приближаются к узлу О, — в системе при любых начальных условиях будет устанавливаться режим, в котором обе машины не возбуждены2).

II. r<p<r-f2?. Теперь — 1<ср'(0)<+1 и кривая (5.67а) вблизи начала координат лежит в квадранте Ki и затем при некотором Z1 = b переходит в квадрант K4, (рис. 266, II). Соответственно, кривая (5.676) лежит в Ki только при Z1 ^ Ь, пересекаясь с кривой (5.67а) только в начале координат О и в точке В (b, — b). Поэтому на фазовой плоскости (рис. 267, II) имеются три состояния равновесия: седло О и два устойчивых узла В (Ь, -—Ь) и Bx (—b, Ь); при

') Если бы на фазовой плоскости имелась замкнутая фазовая траектория, то, согласно теории индексов Пуанкаре, она охватывала бы узел О, что невозможно, так как через него проходят интегральные прямые (2 = I1 и I2 = — I1, уходящие в бесконечность. По той же причине замкнутых фазовых траекторий не существует и при других значениях параметров системы (через каждый узел, как мы увидим, проходит интегральная прямая (2 = J1 или (2 = — I1-, следовательно, замкнутая фазовая траектория, если бы она существовала, не могла бы охватывать ни одного из них и иметь индекс Пуанкаре, равный + 1).

2) Все интегральные кривые уравнения (5.66), кроме прямой /2 = I1, проходят через узел О, касаясь прямой (2 = —11. В этом нетрудно убедиться, воспользовавшись приемом, приведенным в примечании на стр. 296. § 9] СИСТЕМЫ БЕЗ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed