Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
dz __— г
Q
і ЛЇ
Z ' Z і
(5.78)
T
Чтобы исследовать бесконечно удаленные точки, лежащие у «концов» оси у, нужно, как мы уже говорили, воспользоваться преобразованием (5.76). В этом случае уравнения (5.77) и (5.78) принимают соответственно вид:
dz
ТІЇ
dz dt dz
Tz
^(т.тЬИт.т)*.
(5.79) § ГО] ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ 369
Из (5.78) видно, что если не имеет места тождество Qf-, —-) =
_ / 1 z \ '
= , —j, то экватор, определенный уравнением Z = 0, есть интегральная кривая. В случае, если Q = xP, решение будет т = const, и, следовательно, все интегральные кривые пересекают под прямым углом экватор. Особые точки, лежащие на экваторе, определяются
П^М) П ,
соотношениями Z= 0, ¦—-р.-= х. Особые точки, лежащие у «кон-
цов» оси у, должны быть исследованы по уравнениям (5.79). Такая
особая точка (z = 0, х = 0) существует, если одновременно выполнены условия:
z=0, 1=0- (5.80)
0 (о, 4)
Исследование характера и устойчивости найденных таким образом бесконечно удаленных особых точек производится обычным методом.
Для примера рассмотрим случай простого линейного осциллятора с трением, дифференциальные уравнения которого имеют вид:
% = —Hy-W20X=Q (X,у)\ -dj =у = P(X,у).
После преобразования Пуанкаре (5.75) имеем:
dz __d¦
dt — XZ' dt
xz, "+= — х2 — кх — т\, (5.81)
и бесконечно удаленные особые точки определяются соотношениями: z=0, x*-\-hx-\-wl = 0,
откуда
Легко убедиться, что особых точек, лежащих на «концах» оси у, не существует. Действительно:
-V=-Uo.
Так как экватор есть интегральная кривая, то возможны два слу-
Zh2
чая: либо экватор есть предельный цикл X^coS и бесконечно 370 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гл. ¦ V
удаленных особых точек HeTj, который, очевидно, будет устойчив, если
Л<^0, и неустойчив, если 0; либо, наконец, на экваторе существуют четыре особые точки, попарно диаметрально противоположно расположенные, угловые коэффициенты направления которых даются выражениями:
Этот случай будет иметь место, если
Для определения устойчивости особых точек положим
Z = \, T = Ti-I-Ti.
Подставляя эти значения в уравнения (5.81), имеем:
или, наконец, пренебрегая членами высших порядков:
Tt= Tt=-2тіТ1-Н (5.83)
Характеристические показатели X определяются из уравнения:
— т;—Х 0
0 — 2т,- — h — X
откуда
X1 = -Ti, X2 = -2тi — h. Итак, X1 всегда положительно, т. е. особые точки в бесконечности
¦і
все неустойчивы. Так как X2 для T1 равно — 2 I/ --ю", то точка T1 есть седло; так как X2 для т2 равно 2 --wo> ї0 хї
есть неустойчивый узел. На рис. 272 изображено поведение
Л2 о
интегральных кривых в бесконечности для случая — На
рис. 273 изображена та же ортогональная проекция сферы на плоскость, касающуюся сферы в нижней точке, для случая
= 0, § ГО] ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ
371
Исследование бесконечности иногда позволяет однозначно ответить на вопрос о существовании в рассматриваемой системе предельного цикла. Действительно, пусть мы знаем, что бесконечность абсолютно неустойчива. Тогда, если единственная особая точка на конечном расстоянии — неустойчивый узел или фокус, то, поскольку фазовые траектории не могут пересекаться, непременно должен быть хотя бы один устойчивый предельный цикл (строгое доказательство этого утверждения, весьма важного для качественного
исследования динамических систем с одной степенью свободы, будет дано в следующей главе).
Покажем применение этого приема в конкретном физическом случае, доказав существование предельного цикла для простейшей автоколебательной схемы с колебательным контуром в цепи сетки (см. подробнее гл. VII).
Уравнение Кирхгофа для напряжения на конденсаторе колебательного контура, как мы видели в § 6 гл. I (см. уравнение (1.64)), имеет вид:
CL^ + [RC-MS{u)]%+u = 0,
где S=S(U) — крутизна характеристики лампы (мы будем ниже полагать, что 5->0 при н->оо). Это уравнение колебаний может быть приведено к двум уравнениям первого порядка:
S=J, dit=-{-c-±[RC-MS(ii)\y. (5.84)
1 T
Полагая в соответствии с (5.75) и = —, у = —, получим: 372
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
Эта система имеет те же состояния равновесия (и того же характера),
п і
что и система (5.81) при h = ~ и u>„ = ^j- (в силу нашего предположения, что 5—>-0 при и—уоо или z —>-0). Следовательно, поведение фазовых траекторий исходной системы в бесконечности должно быть
совершенно такое же, как у осциллятора с частотой г,г и зату-
ханием , а такой случай мы только что исследовали и знаем, что
бесконечность в этом случае неустойчива. Поэтому, если единственная особая точка, находящаяся на конечном расстоянии, неустойчива,
то уравнение лампового генератора обязательно имеет по крайней мере один устойчивый предельный цикл. Ориентировочный, с точностью до четного числа циклов (полуустойчивый цикл считается за два) вид проекции сферы Пуанкаре на плоскость, касающуюся сферы в нижней точке, изображен на рис. 274 и 275.
