Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 3. Если внутри замкнутой фазовой траектории находятся только простые особые точки (для них Д ф 0), то число таких особых точек всегда нечетное, причем число седел на единицу меньше числа остальных особых точек.
Заметим, что те же выводы (на основании утверждения 4)) можно сделать для любой замкнутой кривой, являющейся циклом без прикосновения. Отсюда, в частности, вытекает следующее: если бесконечность абсолютно устойчива или абсолютно неустойчива, то сумма индексов всех особых точек, находящихся на конечном расстоянии, равна 1.
где D ( ——lJ — соответствующий якобиан. Так как
таты, которые мы получили из непосредственного рассмотрения. (Индекс Пуанкаре сложной особой точки, поскольку для нее Д = 0, может быть отличным от zt Например, для особой точки типа седло — узел /= 0; см. рис. 253.) Мы не будем дальше проводить аналитических рассмотрений, с помощью которых можно было бы обосновать остальные наши утверждения; заметим только, что второе утверждение прямо получается из основных свойств криволинейного интеграла.
Рис. 253.
Перейдем теперь к следствиям, которые вытекают из теории ин-
х,у
то S1 = S • I AI, откуда площадь § 9] системы без замкнутых траекторий
345
§ 9. Системы без замкнутых траекторий
Трудности, которые возникают при исследовании конкретных динамических систем, очень велики, и поэтому часто ввиду отсутствия регулярных и достаточно эффективных методов приходится обращаться к различным способам численного интегрирования. Однако есть случаи, когда на основании общей теории исследование сравнительно просто может быть доведено до конца. Один из таких случаев (практически, пожалуй, наиболее важный) — это тот, когда удается каким-либо способом показать, что на фазовой плоскости рассматриваемой системы нет замкнутых фазовых траекторий.
Можно указать ряд критериев для отсутствия замкнутых фазовых траекторий, каждый из которых дает некоторые достаточные условия. Хотя эти критерии отнюдь не дают какого-либо регулярного способа доказательства отсутствия замкнутых траекторий у системы, заданной уравнениями типа (5.1), тем не менее, как это будет видно из приведенных физических примеров, они представляют определенный практический интерес.
Предположим, что рассматриваемая система отображается уравнениями:
= Р(х,у), d^ =Q (х,у), (5.1)
где мы опять будем предполагать Р(х,у) и Q(x,y) аналитическими на всей фазовой плоскости.
Первый критерий, который мы рассмотрим,—это так называемый критерий Бендиксона, являющийся достаточным условием отсутствия замкнутых контуров, целиком составленных из фазовых траекторий [137].
Критерий Бендиксона: если в некоторой односвязной области на
, дР , dQ „
фазовой плоскости выражение ^ знакопостоянно, то в этой
области не существует замкнутых контуров, целиком составленных из фазовых траекторий динамической системы (5.1) ').
Для доказательства воспользуемся теоремой Грина, согласно которой
Если интеграл по контуру берется по кривой, целиком состоящей из траекторий, то в силу уравнений (5.1) он равен нулю, а следовательно, и двукратный интеграл также равен нулю. Но в таком
Заметим, что сформулированный критерий остается в силе и в тех случаях, когда P1x -f- Q' обращается в нуль в отдельных точках или на некоторых кривых в этой области. 346
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
случае выражение должно обязательно менять знак где-ни-
будь внутри взятого контура; таким образом наше утверждение доказано.
Известным обобщением критерия Бендиксона является критерий Дюлака [148, 108]: если существует такая непрерывная с непрерывными производными функция В (х,у), что в некоторой одно-
связной области на фазовой плоскости выражение (BP) -f-
-j-~(BQ) знакопостоянно, то в этой области не существует
замкнутых контуров, целиком составленных из фазовых траекторий системы (5.1)1). Доказательство критерия полностью аналогично доказательству критерия Бендиксона, и поэтому приводить его мы не будем.
Перейдем теперь к критериям, связанным с гораздо более слабым требованием — с требованием отсутствия замкнутых фазовых траекторий, т. е., иначе говоря, к критериям отсутствия периодических решений системы (5.1).
Можно было бы дать на основании изложенной в § 8 теории индексов ряд критериев; мы приведем только некоторые из них, практически наиболее существенные. Впоследствии мы познакомимся еще с некоторыми критериями, основанными на свойствах так называемой «кривой контактов».
1. Если в системе не существует особых точек, то у нее не может быть и замкнутых фазовых траекторий.
2. Если в системе существует только одна особая точка, причем индекс ее не равен -f-1 (например, седло), то в этой системе не может быть замкнутых фазовых траекторий.
3. Если система обладает несколькими особыми точками, сумма индексов любой комбинации которых не равна —[— 1, то такая система не допускает замкнутых фазовых траекторий.
4. Если система допускает, например, только простые особые точки, причем через все точки с индексами 1 проходят интегральные кривые, уходящие в бесконечность, то такая система не допускает замкнутых фазовых траекторий.
