Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, исследуя поведение интегральных кривых в удаленных частях плоскости, мы доказали, что уравнение лампового генератора имеет по крайней мере один предельный цикл. Прежде всего сам собой напрашивается вопрос: какой смысл этого доказательства, для чего оно нужно? Ведь известно, что в ламповом генераторе при рассматриваемых нами условиях происходят колебания, зачем же это доказывать? Но мы ведь вовсе не имели в виду доказывать, что в реальном ламповом генераторе происходят колебания. Мы доказали только, что та математическая модель, которая соответствует нашему идеализированному генератору, допускает устойчивый периодический процесс. Если бы оказалось, что наше уравнение не имеет предельного цикла, это значило бы, что мы не учли какого-нибудь существенного обстоятельства, обусловливающего возможность непрерывных автоколебаний в реальной системе, и наша идеализация, следовательно, § 11] ОЦЕНКА МЕСТОРАСПОЛОЖЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ 373
не пригодна. Физическая ценность всякого строгого рассмотрения и, в частности, строгого решения вопроса о существовании предельных циклов именно в том и заключается, что сопоставление результатов этого рассмотрения с данными опыта позволяет судить, насколько целесообразна наша исходная идеализация, не упущены ли те или иные существенные для рассматриваемого вопроса моменты. При нестрогом же рассмотрении мы никогда не можем знать, что именно является причиной несоответствия между теорией и опытом: неправильная исходная идеализация или допущенные при рассмотрении нестрогости. Однако физическая ценность нашего рассмотрения, несмотря на его математическую безупречность, все же невелика. Действительно, ведь исследуемое нами уравнение имеет физический смысл, т. е. достаточно точно описывает поведение реальной системы, только если токи и напряжения в системе не слишком велики. Ведь когда мы, например, принимаем, что для достаточно больших значений имеет место насыщение, то нельзя это утверждение экстраполировать для значений сколь угодно больших, ибо при очень больших напряжениях появляются, например, большие сеточные токи, которыми мы пренебрегли, и ряд других обстоятельств, не учтенных нами. Поэтому, если мы строго убедились в существовании предельного цикла, то, чтобы выяснить физическую ценность этого утверждения, необходимо хотя бы приблизительно определить место предельного цикла на фазовой плоскости, с тем чтобы убедиться, что он лежит в области, для которой наша идеализация еще справедлива.
§11. Оценка месторасположения предельных циклов
Для качественного исследования динамической системы с одной степенью свободы, описываемой уравнениями
§¦ = />(*. JO. f = Q(*.J0, (5.1)
т. е. для выяснения возможных типов ее движений, как мы увидим в гл. VI, нет надобности находить все фазовые траектории. Для этой цели достаточно найти лишь некоторые, основные фазовые траектории — траектории, определяющие качественный характер фазового портрета. Именно, нужно знать число, характер и взаимное расположение состояний равновесия (особых точек) и предельных циклов, а также ход сепаратрис (усов седел). Знания этих основных, определяющих качественную картину траекторий достаточно для доведения до конца качественного исследования динамической системы типа (5.1).
Вопрос о существовании состояний равновесия и их характере решается сравнительно простыми приемами, изложенными в §§ 2 и 4 настоящей главы. В то же время до сих пор нет общих методов решения вопросов о существовании предельных циклов, определения
1) Написано Н. А. Железцовым. 374
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
их числа и хотя бы приближенного места расположения. Исключение составляют системы, близкие к консервативным (в частности, к гармоническому осциллятору), системы с «кусочно-линейными» уравнениями, а также системы с разрывными колебаниями, для которых все эти вопросы могут быть решены при количественном исследовании (см. гл. VIII, IX и X). Поэтому для каждого типа задачи приходится изобретать специальные методы, а в крайнем случае прибегать к численному интегрированию или графическому интегрированию при помощи метода изоклин. Последние методы, конечно, обычно приводят к цели, однако их неудобства заключаются в том, что параметрам приходится давать численное значение. Между тем часто особенно интересным является зависимость характера движения от параметров системы, которых может быть несколько.
Один из наиболее часто применяемых приемов исследования предельных циклов (доказательства существования и определения их месторасположения) состоит в построении на фазовой плоскости циклов без контакта, на которых вектор скорости изображающей точки направлен либо везде наружу, либо везде внутрь области, ограниченной этой кривой.
Если на какой-нибудь замкнутой кривой вектор скорости изображающей точки направлен по одну сторону кривой, кроме некоторого числа точек, где он касается, то, очевидно, в этих, точках .мы имеем дело с соприкосновением четного порядка (рис. 276), при кото-ром фазовая траектория пересекает нашу кривую (и в Рис. 276. том же направлении, что и соседние). С интересующей
