Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
со
1 1 f л / *,2+Г2 + ц2\ , . .
:)2_k2 J 2А'А" /а О1) Ф
я (А±/е)2
то
Соотношения (III.13) эквивалентны интегральным уравнениям Липпмана -
Швингера. Легко убедиться, что детерминанты Фредгольма для уравнений
(III.13) совпадают с рассмотренными ранее детерминантами, т. е. с F(X, :р
А). Действительно, детерминант Фредгольма инвариантен относительно
преобразования эквивалентности, переводящего (III.2) в (III. 13).
Так можно получить разложение функции F(X,k), ограничиваясь рассмотрением
только в импульсном пространстве. Подобный подход удобен тем, что здесь
проще получить оценки сверху для соответствующих ядер. Подобным образом
Брауну и др. [18] удалось по-новому вывести практически все описанные в
данной книге аналитические свойства F(X, А), включая и наиболее
принципиальный пункт - поведение амплитуды рассеяния при больших мнимых
значениях X.
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
В настоящем приложении мы найдем оценку сверху для величины
A{z)H{l\Z),\z\<\Z\,
входящей в ядро уравнения (8.19). Исходным пунктом будет следующее
интегральное представление [7]:
A(z)H[1)(Z) =
/со
где \z\<\Z\ и Re % > -1. Из приведенной формулы сразу следует
со
A(z)//f(Z)|<iJ |А(-т-)
г,
dt_
t
оо
4 f lAWI^- 0V.2)
Интегралу в правой части (IV. 2) может быть придан следующий вид:
оо оо
J IA(*)I-T-=J 1 АШ(Лх-1,'+Вх-ч<) ¦
0.0 '
16 Зак. 18
'242
Приложение IV
где А и В - постоянные. Для вещественных А. с помощью неравенства Шварца
находим
dx
х
<
dx'
где для сокращения введено обозначение
1 -а
Г КХ1 Г 1Л +
/(а)= Г [ЛИР-^
* X
w|*+V)
2"[г(-Ц±-)Гг(1+-Ч^)'
(IV. 4)
Минимизируя правую часть уравнения (IV. 3) по величине А/В, получаем
неравенство
оо "i2 ( 1 ^
J lAWlf <4i/(l)4[/(i)/(|)]TJ.
О
По определению величины / (а) [равенство (IV. 4)]
J IAWI-t- <
О
<4[(2АГ1+я-'/2(А2--1-)"'/г]
<
<
4
Приложение IV
243
Подставляя полученное неравенство в соотношение (IV. 2), находим, что
Выведем далее аналогичное неравенство для ядра, входящего в уравнение
(8.25):
Выражение для Я может быть найдено из (IV. 1) при выборе z и Z мнимыми,
однако получающееся при этом представление не удобно для решения
поставленной задачи. Мы используем для этого представление Диксона -
Феррара [29]
КЛку>)1Лку<) = ^ J e~x4j0(kw)dq, (IV.5)
(r) = (- Я - t/2 + 2tych<7)'/2, chy0 = i2 + yl.
Из формулы (IV. 5) и неравенства |У0(¦*) I < С/х'1* нетрудно получить,
что
2 ty sh q = 2 ty (ch2 q - 1),/2 =
= [(r)4 -H4 + y4 + 2тг>2 (*2 + у2) - 2*V]'/l >
Я (Я, *, f, у) = (ty)4'KK(ky с).
со
где
оо
о
о
Однако
> w [w2 -f- 2 {f у2)]Ч
244
Приложение IV
и, следовательно,
w~'b dw
|лг|<с f - _
V к J [w* + 2(<* + 0*)]'A
- 00 ^ -.fty 1 Г w~'l' dw ^
~ КТ (/" + У*)'/- J (w" + 2)'A ""
<c'Y% 1
(<*+уа),л ¦
С помощью интегрирования по частям можно чить еще одно неравенство
+х J
]
!•
" I
так что, приравнивая
w (Q) = (2ty ch Q - t2 - г/2)72 = 1X1
k '
для достаточно больших |Л,| находим
|Л,1<т?{Ч+Т1тГ|У1(,')|'',в+
+ 2 f 4WJ-
I l\ik [(r)* + 2"* + "*)],А )
^Ш_(_?________, _2___.___С ] С, VtJ
' 2 { |я 13/г |;ч1/г |Я|'/* '
поскольку Ji(z)< 1/1/2.
(IV. 6) полу-
->'<7о)Х
(IV. 7)
Приложение IV
245
Из неравенств (IV. 6) и (IV. 7) получаем соотношение (8.28)
|N(X), k, t, у)\ < у(()у(у),
где
Y(i/) = C (1А1) при -$->1.
?(0=С(^Г(|Тг)А при ш<1-
17 Зак 1S
ПРИЛОЖЕНИЕ V
Покажем, что для любого потенциала V(x), подчиняющегося условию (10.3),
имеется такая последовательность ограниченных потенциалов что
где через Еп обозначено множество всех точек xit для которых Xi<xn и
\V(x)\>Mn. Далее, хп и Мп можно выбрать достаточно большими так, чтобы
оба интеграла в (V.1) были бы меньше \/п; отсюда
Функции Vn(x)?L2, и поэтому их можно аппроксимировать с точностью 6П в
смысле среднего квадратичного значения с помощью неограниченно
дифференцируемых функций Un(x), тождественно обращающихся в нуль при
х>хп. Используя неравенство Шварца, имеем
lim | GV- GVп | - 0. Пусть
V (х), если х < хп и | V(x) | < М 0 в остальных случаях.
Тогда
со
lim \ОУ-ОУЯ\ = 0.
\GVn-GUn\<
< sup ^ { | (х') - U а (х') | < (xAf ¦
Ясно, что
lim \GUa - GV\ = 0,
П->СО
Приложение V
247
если 6" таковы, что Когда V(x) принадле-
жит функциональному пространству С непрерывно ограниченных функций х и
lim К(х) =0, величины Un можно взять такими, чтобы они равномерно
сходились к К(х); это можно сделать, например, с помощью приближенного
метода Вейерштрасса.
17*
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
Докажем, что в (10.4) при больших х функцию Грина, являющуюся ядром этого
интегрального уравнения, можно заменить на ее асимптотическое выражение
(при больших х). Вначале предположим, что
V (х) = 0, если х > R, (VI. 1)
и введем следующие определения:
ф м:=-Ш J 1'т^ГГ VW V <х')d3x'' <VI- 2)
1 olkx f
фоо (X) = -ST - V J е-<к' х' Vi*) V (х') d*x\ (VI. 3) где
х = хп, к' - kn.
Чтобы изучить разность Ф - Фсо при х>^, рассмотрим следующее выражение:
Л(х, х') =
е
<*|х-х'| ,ikx
-Х'|
о-ik'-x'
Для больших х > R и х' < R модуль разности |х-х'| можно разложить,
