Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
интегралов Фурье, М., 1948.)
Литература
255
100. Titchmarsh Е. С., Theory of Functions, Oxford, 1939. (Имеется
перевод: E. К. Титчмарш, Теория функций, М., 1951.)
101. Vinh Маи R., Martin A., Nuovo Cimento, 20, 390 (1961).
102. Волк В. Я., Усп. математич. наук, 8, 141 (1953).
103. 'Whittaker Е. Г., Watson G. N., A Course of Modern Analysis,
Cambridge, 1952. (Имеется перевод: E. Т. Уиттекер, Г. Н. Ватсон,
Курс современного анализа, т. I, II, М., 1963.)
104. Wiener N., The Fourier Integral and Certain of its Applications,
Cambridge, 1960. (Имеется перевод: H. Винер, Интеграл Фурье и некоторые
его приложения, М., 1963.)
105. Cornille Н., Martin A., Nuovo Cimento, 26, 298 (1962);,
106. Levinson N., Phys. Rev., 755 (1955),
ДОПОЛНЕНИЕ РАССЕЯНИЕ С УЧАСТИЕМ ТРЕХ И БОЛЕЕ ЧАСТИЦ
А. М. Бродский, В. В. Толмачев
В задаче рассеяния двух частиц основную роль играет, как известно,
интегральное уравнение вида
G(W) = G0(W)+K(W)G(W), (1)
где G0 и G - нулевая и полная функции Грина стационарного уравнения
Шредингера и K(W) - так называемое ядро рассеяния, или просто ядро;
0ОП = ТГГ7Г- °"W = -r^.
К(Ю=тгЬ4 Г, (1а)
где Н - полный двухчастичный гамильтониан, Н0 - гамильтониан без
взаимодействия и энергия W берется комплексной. В двухчастичном случае
ядро [W-ЯоГ1 V уравнения (1) можно сделать несингулярным, если выделить
6-функцию, выражающую закон сохранения энергии-импульса, и достаточно
"хорошим", если потенциал V достаточно гладкий и достаточно быстро
убывает на бесконечности.
Соответствующее интегральное уравнение можно изучить непосредственно
одним из методов существующей математической теории линейных интегральных
уравнений (например методом Фредгольма).
К сожалению, при переходе к задаче рассеяния трех и более частиц ядро
вида (W-Hq)~1 V оказывается существенно сингулярным и ни один из
известных методов теории интегральных уравнений к нему неприложим.
Гамильтониан H=H0+V для АГчастичной задачи возьмем в обычном виде
""= 2 Т57' 2 V'I- <2>
p<i<W) (1
Дополнение. Рассеяние с участием трех и более частиц 257
Оставляем только парные силы; тройными и т. д. силами пренебрегаем; все
частицы предполагаются различными. Переход к общему случаю не
представляет затруднений.
В существующей теории линейных интегральных уравнений обычно
предполагается, что ядро K(W) является вполне непрерывным; к числу таких
ядер относятся, в частности, ядра с интегрируемым квадратом (ядра
Гильберта - Шмидта).
Для нерелятивистского двухчастичного рассеяния ядро K(W) можно сделать
при определенных ограничениях на потенциалы ядром Гильберта - Шмидта. В
импульсном пространстве имеем
<рхр2 I K(W) | p^)=-^-xfji <q 1 q'>' (3>
<PiP2 \0(W)\ p{p'> S6(p-p0<q|o(ir-?)|q'>. (4)
Это уравнение (его обычно называют уравнением Липпмана - Швингера) имеет
ядро, интегрируемое с квадратом, если потенциал удовлетворяет условию
2ц 2М
где
(За)
Положим
Уравнение (1) принимает тогда вид
(q 10 (Ц?) | q') = ~-~Р" -f
W-4-
J* d3q d3q
./ Kqir.ilqnr <co
(6)
258
А. М. Бродский, В. В, Толмачев
для комплексного или отрицательного значения W. Условие (6) выполняется,
если
J d*rVn(r)<oo. (6а)
Уравнение Липпмана - Швингера для ^-частичного рассеяния с N^3
существенно отличается от уравнения Липпмана - Швингера для двухчастичной
задачи рассеяния с N = 2 в следующих отно' шениях:
1) Ядро [W - H0\~l V уравнения Липпмана - Швингера не сводится к ядру
Гильберта - Шмидта даже тогда, когда двухчастичное взаимодействие
достаточно хорошее.
2) Ядро [W-Щ-1 V имеет непрерывный спектр и потому не является также
вполне непрерывным ядром.
3) Диаграммы для [W-//0]~1 V могут быть несвязными.
4) Амплитуда рассеяния не является мероморф-ной функцией константы связи;
наряду с полюсами, характерными для двухчастичной задачи, она имеет еще и
разрезы.
5) Альтернатива Фредгольма здесь не имеет места.
Таким образом, уравнение Липпмана - Швингера для задачи рассеяния с
участием трех и более частиц существенно сингулярно. Вейнбергу [1]
удалось найти эффективный способ изучения этого сингулярного уравнения.
Он свел его к некоторой системе линейных интегральных уравнений с
хорошими ядрами. Мы будем называть ее системой уравнений Вейнберга.
Как уже было указано в предисловии, идеи Вейнберга близки к идеям
Фаддеева [2], развитым Лавли [4] для задачи трех тел, с той только
разницей, что в уравнения Фаддеева не входит непосредственно
двухчастичный потенциал, так как задача для двух частиц решается заранее
(для сингулярных потенциалов это важно). Уравнений у Фаддеева больше, они
сложнее, и, самое главное, не видно, как можно непосредственно обобщить
их и получить эффектив-
Дополнение. Рассеяние с участием трех и более частиц 259
ные формулы в случае более чем трех частиц •). Трехчастичная задача
рассеяния проще общей многочастичной задачи, так как в ней приходится
иметь дело только с одной составной частицей.
Покажем (на примере трехчастичной задачи), что для многочастичного
рассеяния а) ядро K(W) не является ядром с интегрируемым квадратом; б)
