Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Альфаро В.Д. -> "Потенциальное рассеяние " -> 57

Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.

Альфаро В.Д., Редже Т. Потенциальное рассеяние — М.: Мир, 1966. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): potencialnieraseyaniya1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 67 >> Следующая

Наконец, из приведенного выше граничного условия для Ф(А, ft, х)
ф(А, ft, а:) е-2А/п-2хп-2/2
ясно видно, что Ф не является более аналитической функцией константы
связи Л2, как это было для ф(А, ft, х). Можно ожидать, что подобная
ситуация возникнет в теории поля. Этот вопрос исследуется в настоящее
время с помощью так называемой пера-тизационной техники [59, 81, 98].
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Выведем неравенства, которым подчиняются ядра С? (A, k, х, у) и В (A, ft,
х, у), входящие в формулы
(3.29) и (4.3) [76, 62]. Напомним, что
%(>., к. X) - 2'Т(?, + l)k-KxhJJkx),
I"(1, к, = '""!?№*)
являются решениями уравнения
U" + Ш - -~~2ч* и = о
с граничными условиями
Иш х_1'_1/2ф0(А, ft, х)= 1,
лг->0
lim eikxf0(X, ft, л:) = 1
Jf->oo
соответственно. Здесь Jx (ftx) - функция Бесселя первого рода и H^(kx) -
функция Ганкеля второго рода [8]. Легко проверить, что
Ф0 (A, ft, x) - k ф0(А, 1, kx)y (II)
/0 (A, ft, х) = /о(А, 1, ft.v).
Соответственно граничным условиям, которым удовлетворяет ф0 (А, 1, z),
существует положительное, число С0, зависящее только от А, такое, что
|Ф0(А, 1, z)\e^lm^<[^C0\z\Jrh при И<1,
(1 \^+Va
-±-С0) при |г|>1,
230
Приложение I
где p = ReA, при этом | arg z < я. Ясно, что
/1 хМ' + '/г / Г* I 2 | +
(гс°) <(тТ|7г) ПРИ 1г1>1*
/ 1 \М- + ,/а { С \ 2 \ \М- + !/а
(¦jC0|z|) < (t + |J|) пРи 121<1'
и, следовательно,
|Фо(Я, 1,
Отсюда с помощью первой из формул (1.1) получаем
\%(к, к, х)\е~'Ч*< (-Гр^)Ц+,/2, (1.2)
где b - lmk. Аналогичным образом можно показать существование такой
величины Cj(A,), что
|/0(А, 1, z)\e~lmg <{Ci\z\)~^+4t при |z| < 1
и
lf0(X, 1, z)|^Г,,n2<Cr"1|+,/, при |z|>l,
если только | arg г -1- л/21 <я. Из сказанного следует, что
/ Г. I h I г \ ~1 М' 1+*/з
|/о(К к, х)\е->* <[1. (1.3)
Вспоминая далее, что ф0(- A,, k, х) =
Х-тт-[2А/0(А,, k, л) + /0(- I, к) ф0 (Я, k, х)],
IО (Я, к) где
/0(А,, А) = 2х+'/гя-,/Т(А,+ i)k-x+4le~ii3ll2Hh'4,\ получаем формулу G(A,
k, х, у) =
= U(Kk) [Фо (^, A. x)f0(l, k, у) - ф0(А,, Л, у) /о (Я, Л, *)].
(1.4)
Приложение /
231
Аналогичная формула получается при замене &на -k, поскольку G четно
относительно k. Без потери общности мы ограничимся рассмотрением только
случая р>0, Imfe = 6<0. Используем очевидное неравенство
\f0(X, k)\~'<А\кГч\ argft+f
< л,
где А, как и остальные постоянные в данном рассмотрении, зависит от X.
Из соотношений (1.4), (1.2) и (1.3) получаем искомое неравенство
G (*,, k, х, у) | <
/ х \1|П+*/*/ и \ -IM+Vi
<cw^""''(T+k) (ттгщг) •
Здесь С - некоторая постоянная, фактическая величина которой
несущественна для анализа уравнения
(3.29).
Ядро В формально эквивалентно ядру G с тем только отличием, что
переменные входят в него в другой комбинации. Основываясь на предыдущих
результатах, нетрудно получить довольно слабое неравенство
В(X, k, х, у) | <
/ и \1и1+'/"/ х \ IM* I+1/?
<"*¦•"*•( Tftor) (>тЫ ¦
которое, однако, достаточно для рассмотрения уравнения (4.3).
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Всю теорию потенциального рассеяния можно в принципе получить, исходя из
интегральных уравнений фредгольмовского типа для волновой функции. В
настоящем приложении мы выведем это уравнение.
Рассматриваемый подход пригоден для всех дифференциальных уравнений вида
Ф"(х) + /(л:)Ф(л:) =А/(х)Ф(х), (II. 1)
для которых предполагаются известными решения невозмущенного уравнения
Фо+/Ф0=0. (II.2)
Для определенности возьмем интервал 0 ^ х ^ оо. Пусть двумя известными
решениями (II.2) являются функции А(х) и В(х), которые мы будем считать
нормированными так, что А(х)В'(х)-А'(х)В(х) = = W(А, В) = 1. Так же как
при рассмотрении уравне-1 ний Вольтерра, воспользуемся подстановкой
Ф (х) = а (х) А (*) + Р (х) В (х),
0 = а '(х)А(х) + ?'(х)В{х), (11 '
отсюда
Ф'(х)=а А'+рВ'.
Из (II.1) и (II.3) получаем
Ф"=а'А' + р'В'+аА"+р?"=а'А'+р'В' -
- 7(аЛ + рВ) = (А/ -/)Ф.
Из последнего уравнения и из (II.1) следует, что а'Л'+р'В/=А/Ф.
Решая это уравнение вместе со вторым из соотношений (II.3) относительно
а'р', находим
а'=-Д/ВФ, р'=Д7АФ.
Приложение II
233
До настоящего пункта мы не отходили от обычной для уравнений Вольтерра
схемы. Однако далее мы положим а(оо)=а, р(0)-Ь и соответственно
оо
а (х) = а + J Д/ (у) В (у) Ф (у) dy,
X
X
р (х) = Ь + J ДJ(y) А (у) Ф (у) dy.
' о
В силу (И.З) имеем Ф (х) = аА(х) + ЬВ(х) +
ОО
+ J В (х>) А (х<) ДУ (у) Ф (у) dy,
1 °1 (IL4>
х> -тг (•? + #) 4 "g" I - у\,
х< = ^{х + у) - ^\ х - у\.
Формула (II.4) применима в разнообразных случаях при надлежащем выборе А,
В, a, b, J и Д/. Приведенный вывод является, конечно, чисто формальным и
не дает никаких гарантий, что уравнение (II.4) действительно имеет
решения. Формула (8.19) соответствует выбору
А = (kx), В = -i[^-f HV (kx),
a- 1, b = 0,
J = & bJ=V(x),
а формула (8.25) - выбору
A - - Yxlx(kx), В = Yx Ki(kx), a = 0, 6 = exp| - ji (l - г (*41) '
X2 - т
J=-&-----------3^4-, bJ=-V(ix).
Ядро уравнения (II.4) называется функцией Грина.
ПРИЛОЖЕНИЕ III
Обсудим подробно формальные свойства уравнения Липпмана - Швингера для
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed