Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ядро K(W) не является даже вполне непрерывным ядром.
а) Рассмотрим трехчастичную задачу в импульсном представлении. Имеем
уравнение, подобное (3),
X {6 (Рз - Рз) <4l2 I ^12 I qj2) -ь + s(Pi-Pi)(q23| ^23[ Чгз)"Ь^(Рг Р2)|
^1з|Ч1з)}' (^)
Появляющаяся в уравнении (7) б-функция, соответствующая сохранению
полного импульса, не приводит к затруднениям; она аналогична появляющейся
в двухчастичной задаче и исключается подобно тому, как это имело место
выше для двухчастичного рассеяния. Опасными являются б-функции в фигурных
скобках. От них в Sp{/C/C+} в подынтегральном выражении появляются члены
THna [63(Pj - Р2)]2.
б) Покажем теперь, что ядро К для трехчастичной задачи рассеяния не
только квадратично неин-тегрируемо, но вообще не является вполне
непрерывным ядром.
В работе [1] при условии, что потенциал Уц удовлетворяет условию (6а),
получена следующая
(PAPslKWIPlPjPa)
X
где
(7а)
') Возможность приближенного расчета с использованием уравнений Фаддеева
показана в работе [6],
260
А. М. Бродский, В В. Толмачев
оценка для нормы оператора K{W):
II/WIK
| с13г\Уи (г) pj , (8)
-\'!г
lu L 2я 11ш (21Г)'Л I J
(1 <i<)<N)
где [Iц - приведенная масса частиц i и /. Таким образом, оператор K(W)
является ограниченным, если только W не равно действительному
положительному числу.
Вполне непрерывный оператор может иметь самое большее точечный спектр1).
Так что если будет показано, что ядро K(W) имеет либо остаточный спектр,
либо непрерывный спектр, то тем самым будет уста-
') Здесь, так же как и у Вейнберга [1], спектр определяется несколько
иначе, чем в других работах. Определим спектр ядра K(W). Точки Л, в
которых резольвента F(WJI) [или функция Грина G(W,X)) неаналитична или
неограничена, составляют спектр. Функция Грина G(W, X) является решением
уравнения (l)G(tt7, X) = G0(W) +XK(W) G{W, X), причем X комплексно. Для
резольвенты F(W, X) имеем
F(W,X)=K(W)+XK(W)F(W, X)=K(W)+XF(W, X)K(W),
Очевидно, что функция G(W,X) будет аналитической и ограниченной всюду,
где F(W,X) аналитична и ограничена (и наоборот) .
Спектр общего ограниченного оператора K(W) включает:
1) так называемый точечный спектр всех тех конечных Л, для которых
существует (нормируемый) собственный вектор Т такой, что /<Т=Л_,Т;
2) так называемый остаточный спектр всех тех Л, для которых существует
(нормируемый) собственный вектор Т, такой, что Ф4/(=Л'1Ф+; для этих Л
уравнение KT=X~lY не имеет, однако, решения;
3) так называемый непрерывный спектр всех тех Л, для которых при данном е
> 0 существует такой "приближенный собственный вектор" ГЕ, что II (1 -
Л/()Те||<в, ||Те|| =1, для этих Л уравнения КТ=Л"'Т, Ф4АГ=Л_,Ф+ не имеют,
однако, решения.
Таким образом, согласно Вейнбергу, спектр определяется как множество всех
Л, а не множество всех 1/Л, для которых выполняются соотношения /СТ=
Л_,Т; Ф4К=Л-'Ф*; 11(1 - Л/Г)ГЕ|К <в, II Те 11 = 1. Поэтому в
двухчастичной задаче нет непрерывного спектра.
G(W, Л)=[1 + Л/:'(1Т,Л)]0"(1Т).
Дополнение. Рассеяние с участием трех и более частиц 261
новлено, что K(W) не является вполне непрерывным оператором.
Из инвариантности относительно обращения времени следует, что ядро K{W)
не может иметь остаточного спектра. Однако при N >• 3 оно обязательно
имеет непрерывный спектр. Пусть l(W) принадлежит точечному спектру
двухчастичной задачи, тогда %(W - Е) будет лежать в непрерывном спектре
трехчастичной задачи для всех ?>0. Покажем это.
Пусть Т - некоторое нормированное состояние, в котором частицы 1 и 2
находятся в некотором связанном состоянии двухчастичного ядра, а частица
3 почти точно обладает импульсом р и находится так далеко от 1 и 2, что
ее волновая функция почти не перекрывается с волновой функцией частиц 1 и
2, хотя и является сильно размытой, например,
<Ч12Рз|Т0 = (р=)%(Ч12; U7-?)<?-'/,"'<р,-р>Урз-я, (9)
где ф - собственная функция двухчастичного ядра,
HW) J <9а>
l*" = W'fk- = T
При этом параметры а и |R| нужно устремить в бесконечность, считая
|R|^>a. Параметр р фиксирован
JL - F II - Юз(и,+т2)
2ц3 ' /и, m2 4- m3 *
При | R [ ->оо (т. е. при удалении частицы 3) имеем
<ЧиРзI К{ W) | Т> -> (q12p31 0О( W) Vu I Г) =
=(w) -f d3q'n х
ч <4i21 vn\Ч12) V (qj2: W - E) exp ["- -i д2 (p3 - p)jj exp (/p3R) X-----
---------------------2------2------------------ *
w-Jv-Л.
2pi2 2p3
18 Зак. 18
262
А. М. Бродский, В. В. Толмачев
Устремим теперь а-*оо. Тогда
k(W- E)K(W)\T)^\Y) (R->oo, а-*со).
Однако |Т) не имеет предела при | RI -*• оо и а ->¦ оо, поэтому h(W - Е)
лежит в непрерывном спектре ядра K(W). Итак, для трехчастичной и т. д.
задачи ядро K(W) не является ни интегрируемым с квадратом, ни даже вполне
непрерывным.
Как уже говорилось выше, Вейнберг переформировал уравнение Липпмана -
Швингера для G(W) для многочастичной задачи, так что к заменяющим его
линейным интегральным уравнениям Вейнберга можно применить обычные
математические методы теории интегральных уравнений.
Перейдем к выводу соответствующих уравнений. Возьмем разложение G(W) в
