Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ф (л:) ~ С sin [kx - Iт], -{- б, -f- У lg 2kx^;
теперь S-матрицу можно определить следующим образом:
S(l, k) = e2i6'(k]efn(l-'U).
§ 2. Сингулярные потенциалы
225
Корниль и Мартин показали, что функция 5 (Я, к)
имеет в этом случае динамический разрез, зависящий от Uу.
Для 5-волн имеем формулу обобщенного эффективного радиуса для области k^Q
1 kctg6+h(~v)=г°+Z'E + •• •'
в которой
h (Y) = ¦Y [Ф (*Y) + Ф (- iy) - 2 In у],
¦ / \ Г' (x)
Пока не ясно, доказаны ли дисперсионные соотношения для потенциала
Корниля - Мартина.
Условие (3.2) не выполняется при малых х для сингулярных потенциалов с
непроницаемой сердцевиной, используемых в ядерной физике низких энергий.
Литература по этому классу потенциалов довольно отрывочна. Никто не
пытался изучать для них амплитуду рассеяния. Тем не менее интересно было
бы рассмотреть сингулярные потенциалы, для которых произведение xnV(x)
становится неограниченным при п>2 и х -> 0. При х=0 для таких
потенциалов, наоборот, нужно сохранить V(x) и пренебречь центробежным
числом.
Таким образом, все сказанное в гл. 3 относительно регулярного решения
q>(A, k, х) перестает быть справедливым. Точка х = 0 становится
существенно особой точкой уравнения Шредингера. Наложив (правда, только в
вещественной области) при дс=0 некоторые довольно искусственные условия,
Предацци и Редже [86] сумели исследовать ситуацию при *=0 для потенциала
V(x), ведущего себя при л->0 как А2/х4+В/х3. Лимич [63] рассмотрел более
широкий класс потенциалов, аналитических при x=Rez>0. В работе [86]
регулярное решение было взято по-новому, а именно с граничным условием
Ф(7,, k, х) - Nxl+B/2A е~А1*.
-г->0
15 Зак. 18
226 Гл. 13. Обобщения теории потенциального рассеяния
В работе [63] граничное условие было взято в виде
Ф(А, k, х) ~ iVj ,Лехр| - J| V{x')\kdx'\^.
Поскольку в эти граничные условия не входит А, то по обобщенной теореме
Пуанкаре (теорема 7 гл. 2) Ф является целой функцией АЛ Решение Иоста
можно определить с помощью того же интегрального уравнения (4.8). Новая
функция Иоста определится равенством
0(А, k)~W[<b(X, k, х), /(A, k, дг)],
где функция G(A, ft), конечно, четна по А. Так как
S-матрица дается выражением
то приходим к неожиданному результату, что
S(A, k)e-'*l = S(- A, k)eliA. (13.13)
Формально этот результат является не чем иным, как тождеством (5.14),
взятым при F-* оо. Симметрия равенства (13.13) позволяет продолжить S(A,
ft) в левую часть плоскости А, для которой ничего не известно
относительно обычных потенциалов. При этом нам приходится мириться с тем,
что асимптотическое поведение амплитуды.при больших х становится очень
сложным, так как имеется бесконечное число полюсов с точкой сгущения на
бесконечности. Функция G(A, ft) является целой функцией А, и точка А=оо
для нее - существенно особая точка. Как показали Жакшич и Лимич [50], для
потенциалов, аналитических при x:=Rez>0, функцию G(A, k) можно
представить в следующем виде:
1
А2
А\{±к) J
G(А, ± ft)*=G(0, ± ft) Д
n=i
откуда
_ *>=*"" (о, *> П ¦
где Ад (ft) = Ал (-k*).
§ 2. Сингулярные потенциалы
227
Для потенциала, сингулярного в нуле, аналитического при x=Rez>0 и
ведущего себя на бесконечности как V0z~p~l ехр (-mz) вдоль любого луча
х>0, Жакшич и Лимич [50] для сдвигов фаз получили асимптотическое
поведение при больших X и |arg Я| <я/2
б (я., к)-^ Ш"(sh аГ'/2 (жsh аГв_Хв I1+° Ш] •
где
, . , т2
Cha = l-lr-^.
Согласно этому результату, фазы в указанной области ведут себя как первое
борновское приближение для регуляризованного в нуле потенциала. Они
определяются поведением потенциала исключительно при больших х. Вдоль
мнимой оси, согласно равенству (13.13), имеем совершенно точный результат
15 (A., k) | - е~рл, X - ip.
По-прежнему можно применить ^-преобразование, однако вопрос о сходимости
получающегося при этом разложения остается открытым. Известно, что целая
функция нецелого порядка всегда имеет бесконечное число нулей. Поэтому в
Н^-преобразовании, помимо основного интеграла, имеется также бесконечный
ряд полюсных членов, которые пока еще исчерпывающим образом не изучены.
Интересной особенностью сингулярных потенциалов является то, что в силу
соотношения симметрии основной интеграл обращается в нуль в ^-
преобразовании, возникающем при выводе обычных дисперсионных соотношений
(гл. 10, § 7),
ЦЕ. 1<а.
С
Окончательный результат имеет вид формулы Брей-та - Вигнера с бесконечным
числом уровней. Ничего неизвестно относительно сходимости этого формаль-
15*
228 Гл. 13. Обобщения теории потенциального рассеяния
ного разложения для других сингулярных потенциалов.
Довольно любопытно, что исторически именно сингулярные потенциалы были
изучены первыми в связи с задачей распространения волн вокруг Земли [79,
84, 104, 96]. В этой задаче V(x) - по существу потенциал с непроницаемой
сердцевиной, т. е. V(x) = = оо для x<.R, где R - радиус Земли.
Получающийся ряд полюсных членов сходится при больших х очень быстро,
однако не известно, удастся ли эти результаты применить в ядерной физике.
