Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
где
I(W) = Ll2(W)[V2,-\-V13} +
_Ь^-2з(^Г) {^12_Ь^1з}Н"^'1з(^) + (13)
Из соотношений (12) имеем также
Llj(W) = Ktj(W)Q0{W) + Ktj(W)Llj{W),
C(W) = I{W) [G0(W) + Ll2{W)+ (14)
-Y-Ln(W) + L23(W)] + I{W)C(W).
Суть проведенной перестройки уравнения Липпмана .- Швингера в систему
уравнений Вейнберга состоит в том, что теперь ядро I(W) является хорошим
ядром, а именно ядром Гильберта - Шмидта с интегрируемым квадратом.
Мы не будем здесь останавливаться на деталях работы Вейнберга, который
доказал [1], что ядро
268
А. М. Бродский, В. В. Толмачев
I(W) является ядром Гильберта - Шмидта для N = 2, 3. Вместо этого
перейдем к изложению более полного исследования этого вопроса,
проведенного Унцикером [5].
Прежде всего Унцикер предложил новое представление для I{W). Он
рассмотрел разные системы последовательных разбиений N частиц на так
называемые кластеры. Например, для четырех частиц среди прочих можно
рассмотреть такую систему разбиений: (1) (2) (3) (4)->(12) (3) (4) -
>(123) (4)->(1234). Каждая система разбиений (DN, ..., Di) начинается с
разбиения DN=( 1) ... (N) и оканчивается Di = = (1 ...N). Отдельные
разбиения обозначим через S=(Dn, ..., Di). Представление Унцикера для
связной части функции Грина C(W) имеет вид
C(W) = GdnVdn, DN_iGoN_i• • ¦
...Gd2Vd2,dGd^I(W)G(W), (15)
где Gok(k = N, ..., 1) означает G для гамильтониана //^.Гамильтониан Hok
получается из полного гамильтониана Н, если в Н опустить члены
взаимодействия между кластерами разбиения Dh. Далее VDje оъ_х =//oft_, -
H°k. Очевидно, что GDi = G, так что из формулы [15] сразу получается
представление для оператора Вейнберга I{W).
Далее вводится в рассмотрение цепочка операторов
Ai, = GDnVdn, DN_iGDN_i ¦ ¦ ¦ Gok {N'^k'^2); (16)
каждый оператор Ah содержит произведение ровно k б-функций сохранения
импульса. Любой оператор Ah можно рассматривать как оператор в некотором
гильбертовом пространстве Hh функций ф(/?1 ... pN) с нормой
(ф, Ф)= jdpi.. .dpN6( ).. .6( ) ф(/>г . .pN)(f{pi.. ,pN),
k
(17)
Дополнение. Рассеяние с участием трех и более частиц 269
в которой схематически указаны k 6-функций сохранения для k кластеров
разбиения Dy. Конструкция Унцикера схематически проиллюстрирована на фиг.
9.
Унцикер использует метод индукции, чтобы, начиная с k=N, когда Ллг = Одг
и равно свободной функции
. о"-?
N <
NV-
йК
Фиг. 9. Иллюстрация конструкции Унцикера.
Грина, доказать, что Ay(W) является оператором Гильберта - Шмидта в
гильбертовом пространстве Hk, причем N > k > 2 и для W, не принадлежащих
спектру HDk. При этом относительно Уц предполагается, что все они
интегрируемы с квадратом. За недостатком места и ввиду громоздкости мы не
приводим здесь, по существу весьма простого доказательства Унцикера для
сформулированного положения (см. [5]).
Полагая &=1, имеем Ay=I{W) и где Н -
гильбертово пространство с нормой
(Ф> ф)=/ dpx ... dpNb Pi)$(Pi---pN)<v(Pi---pN)-
(18)
Отсюда ясно, что ядро Вейнберга I(W) является ядром Гильберта - Шмидта в
"норме системы центра масс".
270
Литература
Литература
1. Weinberg S., Phys. Rev., 133, B232 (1964).
2. Фаддеев Л. Д., ЖЭТФ, 39, 1459 (1960).
3. Фаддеев Л. Д., ДАН, 138, 565 (1961); ДАН 145, 301 (1962).
4. Lovelace С. A., Lecture Notes for the Edinburgh Summer
School, July 1963.
5. Hunziker W" Phys. Rev., 135, B800 (1964).
6. Basdevant J. L., Phys. Rev., 138, B892 (1965),
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчиков ................................ . . 5
Предисловие авторов к русскому изданию.........................10
Предисловие....................................................11
Глава 1. Введение .............................................13
§ 1. Уравнение Шредингера..................................13
§ 2. Исторические замечания................................16
Глава 2. Математический аппарат................................21
§ 1. Предварительные замечания.............................21
§ 2. Некоторые сведения из теории дифференциальных
уравнений второго порядка ........................... 21
§ 3! Интегралы Фурье.......................................24
§ 4. Аналитические функции.................................26
§ 5. Интегральные уравнения................................27
Глава 3. Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями
при *=0.....................................31
§ 1. Интегральное уравнение для регулярного решения 31 § 2. Дальнейшее
исследование интегральных уравнений 38
Глава 4. Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями на
бесконечности .... 41 § 1. Интегральные уравнения для решения Иоста . .
41
§ 2. Природа сингулярности при 6=0.........................45
§ 3. Поведение общего решения при больших х ... 47 § 4. Аналогия между
граничными условиями при х=0
и *= оо...............................................48
§ 5. Качественное обсуждение...............................50
§ 6. 5-волны...............................................52
Глава 5. Функция Иоста и S-матрица.............................54
