Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ikx-i к'*х'
-4<х'х'>-------i7=Fr><
Используя неравенства
(VI.4)
\ег- 1|<г при Rez<0,
Приложение VI
249
легко найти, что
|А(х, x')\<f(^L[\k\R2 + 2R],
где b - Im k^O. Отсюда можно получить оценку для |Ф - Ф^!
|Ф-Фсо!<
<2e-jr^(\k\R2+2R)^ J |К(^)П^(х01^ (VI.5)
для всех х> R и b = Im ? > 0. Точно так же можно получить еще одну оценку
< j^^V\k\R+\)±l\V(x')\\4(x')\cl*x'. (VI. 6) Заменим теперь (VI. 1) на
более слабое условие
ОО
J х2 \V {x)\dx <, оо, (VI. 7)
о
которое гарантирует существование Ф00(х). Опять введем величину R,
являющуюся теперь некоторой функцией л;, такой, что R(x)<x. Далее
разобъем потенциал на две части:
V(x)=VR(x)+V(x), (VI. 8)
где
т/ / ^ \v№ ПРИ *<Я.
Vr{x) = \ п
Тогда Ф и Ф^, также распадаются на две части (обозначения очевидны):
Ф - Фд + Ф> Фоо = Фдсо + Фоо-
250
Приложение VI
Совершив это разбиение, имеем
ОО
|Ф(х)|<^ J y*W(y)\dy, (VI.9)
R (х)
со
J y2W(y)\dy. (VI. 10)
R W
Рассмотрим интересующий нас предел Иш л:|Ф - Фю|< Иш х|Фл -ФЛоо| +
•Г->оо х->со
+ Иш *|Ф| + Иш *|^J.
Х-+ОО jr->00
Относительно первого слагаемого в правой части неравенство (VI. 5)
утверждает, что входящий в него, интеграл меньше, чем
СО
IPFIlJ x'2V(x')dx\ о
Таким образом, из соотношений (VI. 5), (VI. 9) и (VI. 10) следует, что
Иш л: | Ф (х) - Фет (х) | = 0,
Х-+СО
если только R(x) выбрано таким, что
lim R(x) = co, lim (jc - R)~2 xR2 (x) = 0,
X~+oo Л"->со
что всегда возможно. Подобным же образом можно провести анализ
производной волновой функции ПО 1 X |.
Найдем теперь асимптотику решения однородного уравнения
V = G]T? (VI. 11)
при условии, что Im&>0, а потенциал V(x) удовлетворяет (10.3). Для этого
нужно сначала доказать две леммы:
а) Все функции 4f, принадлежащие С и такие, что !|ЧГ1 <Ae~bxJx, где b
= lmk, образуют линейное под-
Приложение VI
251
пространство Т в С, которое переводится само на себя оператором GV.
б) Все решения уравнения (VI. 11) лежат в Т. Чтобы установить
справедливость леммы "а", возьмем Ч? ?Т и 9 = Тогда легко находим,
что
е-Ьх ?°
IФ (х) | < А -J x'\V(x')\dx',
о
что и доказывает лемму.
Чтобы доказать лемму "б", разобьем потенциал [так же как и в (VI.8)] на
две части V=Vr+V, где величина R фиксирована и достаточно велика, чтобы
имело место неравенство |GF|<1. Можно записать
4f=GWF+GF4' = 'F0+GF4f. (VI.12)
Из (VI.3) и (VI.5) следует, что Тоб?'- Соотношение (VI. 12) можно
интерпретировать как функциональное уравнение в пространстве С или Т. В
обоих случаях в силу альтернативы Фредгольма решение существует и
единственно, ибо |GF|< 1. Однако так как С содержит Т, то оба решения
совпадают.
Асимптотическое поведение 4я (х) можно найти аналогично. Если условие
(10.3) выполняется, то Фоо (х) существует и
lim хеЬх | Ф (х) - Фю (х) | = 0.
Х-+ОЭ
Если же
lim лг 1 F(x)| =0,
Х-*оо
то имеем также
и* ЙФ .,
Литература
1. Ahmadezadeh A., Burke P. G" Tate C., Phys. Rev., 131, 1315
(1963).
2. Bargmann V., Rev. Mod. Phys., 21, 488 (1949).
3. Bargmann V., Phys. Rev., 75, 301 (1949).
4. Bargmann V., Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 38, 961 (1952).
5. Barut A. O., Dilley ]., Journ. Math. Phys., 4, 1401 (1963).
6. Barut A. 0., Zwanziger D. E., Phys. Rev., 127, 974 (1962).
(Имеется перевод в сборнике "Теория сильных взаимодей-
ствий при больших энергиях", ИЛ, 1963.)
7. Bateman Н" Higher Transcendental Functions, New York, 1953.
8. Bessis D., Journ. Math. Phys., 6, 637 (1965).
9. Bethe H. A., Kinoshita Т., Phys. Rev., 128, 1418 (1962).
10. Blankenbecler R., Goldberger M. L., К hurt N. N.. Trel-man S. B.,
Ann. of Phys., 10, 62 (I960). (Имеется перевод в сборнике "Теория сильных
взаимодействий при больших энергиях", ИЛ, 1963.)
11. Blatt ]. М., Weisskopf V. F., Theoretical Nuclear Physics, New York,
1952. (Имеется перевод: Дж. Блатт, В. Вайскопф, Теоретическая ядерная
физика, ИЛ, 1954.)
12. Boas R. P., Entire Functions, New York, 1954.
13. Boas R. P., Buck R. C., Polynomial Expansions of Analytic Functions,
Ergebnisse der Mathematik, 19 (1958).
14. Bochner S., Martin IF. Т., Several Complex Variables, Princeton,
1948. (Имеется перевод: С. Бохнер, У. Т. Мартин, Функции многих
комплексных переменных, ИЛ, 1951.)
15. Borg G., Proc. 11th Congress of Scandinavian Math., Trondheim,
August, 1949, p. 276.
16. Bottino A., Longoni A. М., Regge Т., Nuovo Cimento, 23, 954 (1962).
(Имеется перевод в сборнике "Теория сильных взаимодействий при больших
энергиях", ИЛ, 1963.)
17. Bowcock ]., Martin A., Nuovo Cimento, 14, 516 (1959).
18. Brown L., Fivel D., Lee B. W., Sawyer R. F., Ann. of Phys., 23, 187
(1963).
19. Calogero F., Nuovo Cimento, 28, 761 (1963).
20. Calogero F., Charap J. М., Squires E. J., Ann. of Phys., 25, 325
(1963).
21. Castillejo L., Dalitz R. H" Dyson F. J., Phys. Rev., 101, 453
,(1956).
22. Chadan K-, Nuovo Cimento, 24, 379 (1962).
23. Charap J. М., Fubini S., Nuovo Cimento, 14, 540 (1959).
24. Charap J. М., Fubini S., Nuovo Cimento, 15, 73 (1960).
25. Charap J. М., Squires E. J., Ann. of Phys., 25, 143
